Como enganar, manipular e presentarse nunha luz favorable á grandeza das matemáticas?

A principios de novembro de 2020, Mateusz Morawiecki referiuse aos matemáticos do Centro de Modelado Matemático que demostraron que a folga de mulleres provocou un aumento das infeccións en 5000. Teño amigos neste centro; só souberon que o predixeran a partir dun discurso do Sr. - a Mateusz.

Quero subliñar que, quizais en contra do título do artigo, non vou louvar nin criticar ao actual presidente do Goberno. Eu creo que matemáticas non é o seu forte, pero tal deficiencia intelectual non suscitará obxeccións da maioría de vós. E, en xeral, un gran matemático non estaría nunha posición responsable, pero non sabio na vida e na política? Tamén mencionarei que Donald Tusk, na súa antiga campaña presidencial, dixo (como en broma): "non se poden escribir exames de matemáticas sen descargar". Xa sabes, a nube de matemáticas é o teu home, igual que eu. Julian Tuwim era snob coa súa ignorancia das matemáticas. E chamáronme á directiva. Só vou notar que tivemos unha estrea en matemáticas en Polonia. Foi (cinco veces) Kazimierz Bartel, 1882-1941, reitor do Politécnico de Lviv, un excelente xeómetro. Non podo nin intento xulgar o seu reinado.

Limpar a boca é versátil e antigo. Sobre iso escribíronse libros, finos e grosos. Hai moitas formas, falarei dalgunhas, comezarei polas que están cosidas con fíos grosos. Quizais no pasado existían aínda máis métodos deste tipo, porque no monumental e primeiro Dicionario da lingua polaca Samuel Bogumil Linde (publicado en 1807-1814) lemos:

Matemático, matemático matemático, malabarista matemático.

Non coñecemos as accións máis simples, e queremos probar a nós mesmos. Hai uns anos, un xornalista de Olsztyn escribiu unha longa exposición sobre como os fabricantes nos enganan. Por exemplo: nun paquete de manteiga di "contido de graxa 85 por cento" - é o 85 por cento nun cubo ou nun quilo? Toda Polonia chorou. Pero só os profesores intelixentes de matemáticas (é dicir, todos os profesores de matemáticas!) notaron un erro no razoamento dun dos nosos antigos primeiros ministros, Kazimir Martsinkevich, hai moitos anos. Cambiarei un pouco os números para que sexa máis fácil de ver. Dixo algo así: gastamos 150 millóns de zlotys na construción de estradas, e recibimos 50 millóns de Bruxelas, polo que gastaremos só 100. Aforramos un 50 por cento. Ben, 50/100 é o 50 por cento. Onde está o erro? E se tivésemos 100 millóns, canto aforraríamos? O erro é sutil. Falando de porcentaxes, é importante aclarar de onde as sacamos. Este é un erro moi común que cometen os profesores. Din que unha porcentaxe é a centésima parte. Isto non está permitido! O cento por cento, pero sempre é algo. Se gastamos 150 e gastamos 100, aforramos 50 de 150, o que supón un 33%. O primeiro ministro Martsinkevich era profesor de física. Ou era un profesor tan malo que non entendía as porcentaxes, ou as manipulaba deliberadamente para conseguir o mellor efecto político. En realidade preferiría este último. Permíteme que te lembre unha anécdota moi antiga de preguerra. "Papá, hoxe aforrei 20 centavos!" "Está moi ben, fillo! Como? "Non fun no tranvía á escola, corrín detrás del!" "Ah, fillo, corre por segunda vez a un taxi: aforrarás 5 zlotys!"

Ideas, ideas! A maioría das ideas da chamada contabilidade creativa baséanse en lagoas legais (lei escrita no xeonllo = merda) e se afastan da noción de media. Velaquí un exemplo: como se pode aumentar o salario de todos mentres se baixa o salario medio? Sinxelo: darlle unha pequena subida aos que xa están traballando e, ao facelo, contratar a moita xente mal pagada. A media caerá... e no contexto da masa salarial global, estaba fóra de discusión. Supostamente, ata 1989, un certo director dunha empresa estatal comportábase deste xeito.

Podes loitar directamente, utilizando o analfabetismo matemático de moitos círculos da sociedade e combinando as matemáticas (??) coa literatura (??). Velaquí un texto demagóxico pero ficticio (aínda que baseado nunha publicación real, antes de 2010 para a atención).

As enfermeiras estarán mellor. Hai dous anos, o salario medio neto dunha enfermeira no condado de Sochaczew era de 1500 PLN. O ano pasado, o goberno aumentou o gasto en saúde en medio billón de zlotys. Isto será o dobre que en anos anteriores. Hermenegilda Kotsyubinskaya, unha enfermeira do Hospital Clínico Central, di: o mes pasado o meu soldo foi de 4500 PLN. Isto significa un aumento enorme e triplo dos ingresos da atención sanitaria.

Hai quen enganar? Aínda que os números sexan os mesmos, podes ver o que estamos a comparar aquí. salario medio no hospital provincial co soldo dunha persoa nun mes determinado. Se cadra Hermenegilda é a xefa das enfermeiras, quizais este mes tivo moitas quendas extra, e ademais, a CRH ten unha escala salarial especial? Ademais, os mencionados 1500 PLN son salarios netos e non se especifica se o salario da Sra. Kociubinska é neto ou bruto. Medio billón é unha cantidade enorme para un individuo, pero que significa a nivel nacional? Observamos de inmediato que "medio billón" soa mellor propaganda que "500 millóns". Non se informa a que foron 500 millóns de zlotys. Non se sabe por que 500 millóns de zł dobre.

Como podo mellorar os meus resultados de aprendizaxe? A escola X é criticada polas autoridades educativas polos malos resultados educativos (é dicir, un GPA baixo, aínda que son cousas diferentes!). O director atopa un xeito de mellorar un pouco as cousas. Traslada varios alumnos da clase A á B e consegue o seu obxectivo: aumentou a nota media en ambas as clases.

Como é posible isto? Se hai un alumno na clase A cuxo GPA é inferior á media da clase A, pero superior á media da clase C, trasladalo á clase B terá o mesmo efecto. A fe baséase neste efecto Mechislav Chuma i Leshek Mazan, autores da "Enciclopedia Galega" (editorial "Anabasis", Cracovia), que o día en que Segismundo III Vasa e a súa corte se trasladaron a Varsovia, o nivel medio de intelixencia aumentou en ambas as dúas cidades.

Tendemos a interpretar os datos. Este é o tramo non elemental máis común. Vou comezar co exemplo máis estúpido, pero fiable. Hai moitos, moitos anos, o xa desaparecido Express Wieczorny informou de que o salario medio da Universidade de Varsovia sería de 15000 24 złoty (entón złoty). O reitor debía recibir o salario máis alto, 6, o asistente novato máis baixo, 15. Media XNUMX!!! manipulación o concepto de media é un tema de habilitación.

Aquí tes dous exemplos máis. Sabes que a persoa media en Polonia ten menos de dúas pernas? Pois si: hai quen ten un, pero ninguén ten tres! O segundo exemplo é máis sutil. Ben, a miña muller e eu temos os nosos propios coches. O meu transportista consome moito combustible, 12,5 litros por cada 100 km. Isto significa que para 100 km necesito 8 litros. A miña muller ten un Mitsubishi pequeno: consome 8 litros por 100 km. Isto tamén é moito, pero para que os cálculos sexan sinxelos, hai que procesar un pouco os datos. Moitas veces montamos no mesmo. Polo tanto, o consumo medio de combustible dos nosos dous coches é a media aritmética de 8 e 12,5. Suma, divide por 2. Resultan 10,25 litros. Por suposto, é importante que moitas veces andemos polo mesmo camiño. Entón, onde está o ámbito da manipulación?

Ai, aquí. Sabías que o consumo de combustible dos EUA calcúlase de forma diferente? Eles responderán: "Conduxo tantos quilómetros desde un galón". Deixemos a conversión de litros a litros e de millas a quilómetros, pero aplícala aos coches antes mencionados: o meu e o Consello Único de Revisión do Noso Casamento. Só vou conducir 8 km por litro (100 dividido por 12,5), a miña muller 12,5 km (100 dividido por 8). De media, un litro levaranos... a media aritmética destas cifras. Xa o calculamos unha vez. Resulta que 10 e cuarto - esta vez 10,25 quilómetros.

Volvamos aos estándares europeos. Se conduzo 10,25 km cun litro, cantos litros necesitas para 100? Tomemos unha calculadora: 100 dividido por 10,25 é ... 9,76. O consumo medio dos nosos coches é de 9,76... e antes era de 10,25. Onde está o erro? Non! En realidade, non en matemáticas, senón na interpretación das palabras "viaxamos con igual frecuencia". Unha análise coidadosa demostrará que na primeira interpretación isto significa "percorremos o mesmo número de quilómetros ao mes", e na segunda "utilizamos a mesma cantidade de gasolina". Poderíase engadir unha terceira variable: pasamos a mesma cantidade de tempo conducindo (a muller conduce moito máis rápido)... e sería diferente. Se estamos a medir algo, debemos ter unha cinta métrica.

situacións máis sutís. O paradoxo de Simpson. Exploramos o que é mellor para eliminar a caspa: Coca-Cola ou Pepsi-Cola. Facemos probas en mulleres e homes. Aquí tedes os datos. Case todos os cálculos pódense facer na memoria.

Por favor, lector, senta. Só para non caer do sentimento. Cal é a mellor bebida para eliminar a caspa nos homes? Marquei os números maiores en vermello e os máis pequenos en azul. 25 é máis que 20, non? Señores: mercade Coca-Cola para a caspa! Que pasa coas mulleres? Probablemente ao revés? Non, 60> 53. Señoras, tomade unha Coca-Cola.

A empresa compra anuncios na televisión, onde unha parella feliz (á antiga: un home e unha muller) se libran desta leve afección coa axuda de Coca-Cola. Pero hai un anuncio de Pepsi. Pois porque había 250 persoas na proba tanto aquí como aquí, o que significa que estaban repartidas equitativamente. Coca-Cola axudou a 80 persoas (32%), Pepsi axudou a 100 persoas, o 40%. Na pantalla, a multitude derrama a caspa mentres unha lata de Pepsi rola diante da cámara. "A nosa xeración xa escolleu!"

Onde está o erro? Non. Quero dicir, as matemáticas están ben. Ou máis ben só aritmética. Para ser matematicamente correctos, debemos tomar mostras comparables coa mesma proporción de M que K. Se non, os cálculos non teñen sentido, coma se estivésemos calculando o peso medio dun mosquito e dun elefante. Podemos sumar e dividir por dous. Que calculamos? Ben, o peso medio dun mosquito e dun elefante. Que nos dará? Un fío.

Pero levámolo á política, a EEUU, claro. Os partidarios dun dos candidatos, din Bump, chorarían: somos mellores tanto para as señoras como para os señores. Vota por Jozef Podskok! Os seguidores de Triden escribirían en pancartas: Somos os mellores do mundo. Vota pato con 3 dens (Donald).

Vale, como é realmente? Esta é a parte máis difícil. Que significa "realmente"? Podemos dicir: "Verdade é o que concorda coa realidade". Porén, xorde outra pregunta: como medir a "correspondencia coa realidade"? Pero isto xa non son matemáticas, e gustaríame atenerme a ela, porque só aquí me sinto seguro.

Sobre este paradoxo (chamado O paradoxo dos Simpson) baséase en moitos outros. Coñécese en matemáticas desde hai cen anos, pero (relativamente) recentemente as ciencias sociais interesáronse por ela. Todo comezou co feito de que nunha das universidades americanas o reitor notou que as nenas eran moito menos aceptadas que os nenos. Ela pediu informes aos decanos... e resultou que en todas as facultades a proporción de admitidos a candidatos era maior para as nenas que para os nenos -e todo o contrario. Recoméndolle ao lector que refunda o exemplo de Pepsi e Coca-Cola á situación dos departamentos universitarios.

Unha situación aínda máis sutil. Todo o mundo no mundo matemático coñece o "exemplo de Nebraska". Nalgún lugar de Nebraska, unha tenda foi saqueada e unha caixa rexistradora foi roubada. As testemuñas só lembraron que o fixo unha parella estraña: un home de pel escura con barba e unha muller con trazos orientais. Marcharon (neumáticos chirriando como na película) nun Toyota amarelo. Poucas horas despois, a policía detivo... un Toyota amarelo, no que había un afroamericano con barba, acompañado dunha muller asiática. "É vostede!". Esposas, corte. Un matemático experimentado calculou que tal conxunto (negro + asiático + amarelo Toyota) é tan único que o 99,999% dos ladróns son buscados. Botou no salón termos memorizados: eventos elementais, diagrama de Bernoulli, conxunción. A parella foi sentar. Con todo, contrataron ao mellor matemático, que dixo nun chamamento: “Ben. Xulgue por si mesmo, o meu predecesor calculou que a probabilidade de que un coche atopado ao azar con dous pasaxeiros sexa un Toyota amarelo cun negro e unha muller xaponesa é tal e tal. Pero aquí temos que resolver outro problema, a probabilidade condicional. Cal é a probabilidade de atoparse con outro par (ou tres, se acendes a máquina), se sabemos que tal xa existe. »

Non sabemos se o xuíz entendeu algún dos argumentos. Quizais só que a resposta dependa da elección da situación. Iso foi suficiente. Cancelou a sentenza.

Un golpe na cabeza cun pau. Sempre tratamos esa demagoxia (1).

Os bares son terribles: os prezos do carbón duplicáronse. Mirar as cifras é tranquilizador: efectivamente pasaron de 161 PLN por tonelada a 169 PLN (exercicio: en que porcentaxe?). Pero como a maioría da xente aprende visualmente, lembrará o gráfico, non os números. Sen entrar en discusións políticas, debo dicir que un método similar foi empregado polo goberno (o do verán de 2020), imaxinando un aumento do gasto en cancro. Esta non é unha crítica a este goberno. O seguinte tamén utilizará este método. É seguro e dá un efecto inmediato ("visto").

Levamos máscaras. As leis de propagación das epidemias son sinxelas e “por si mesmas” inexorables. O número de persoas infectadas crece máis rápido, máis xa hai. Así vai a avalancha. Iso din as matemáticas. Non obstante, hai un gran "pero" - quizais máis dun. En primeiro lugar, é así, mentres "non pasa nada". Cando se deteña a avalancha no bosque, cando a epidemia se ralentice polo sabio comportamento de todos nós, entón non imos "agradecer" tanto ás matemáticas como crear un modelo diferente. Si, un modelo matemático diferente (como no exemplo do roubo na tenda de Nebraska). As matemáticas, unha fermosa ciencia, só axudan a comprender o mundo. Moitos, pero só tantos. A ver: saltamos case seis metros cun pau, sen ela non podemos saltar nin 2,50. Despois colle o pau na man e salta. É unha molestia infernal, non si?

o uso de matemáticas en ciencias sociais é difícil, perigoso e peor, tentador. Os coñecedores dos Tatras asóciano co barranco de Drege: unha baixada suave e herbosa dende Garnets ata Chyorny Stav... Así se ve desde arriba. Pronto o barranco convértese nunha trampa da que só TOPR, o Servizo de Rescate Voluntario de Tatra, pode salvarnos.

Os matemáticos chaman a este aumento de avalanchas e epidemias crecemento exponencial. Como xa escribín, este crecemento pódese suprimir, pero non de novo. Non obstante, vexamos dúas gráficas da mesma curva (só nunha escala diferente). Quen entenderá, dou a fórmula desta función: y = 2^xdous ao poder. Mire os gráficos. A partir de que punto se produce a rápida aceleración do crecemento? Todo o mundo indicará: está máis ou menos preto do punto marcado cun punto grande. Pero no primeiro gráfico este valor está preto de 1,5, no segundo é máis de 3 e no terceiro é de 4,5. Se daquela haberá algún tipo de manifestación na rúa, podemos dicir: por favor, dende o momento da manifestación, a curva subiu, subiu bruscamente. Na gloria das matemáticas! E esta é só unha propiedade da curva exponencial. A escala e o punto correspondentes desde o que comeza a aceleración rápida pódense escoller libremente (2).

Eleccións presidenciais... en EEUU, claro. Aínda lembramos a farsa de novembro de 2020. O país, que aínda é a potencia número 1, non afrontou o reconto de páxinas. Ao final resultou que Joe Biden non só conseguiu máis votos electorais, senón que gañaría se a decisión se tomara por maioría simple. Na situación que vou describir, non hai manipulación matemática, só un exemplo de como o resultado das eleccións pode depender da resolución adoptada. Se o sabes, é difícil protestar. Un defensor do fútbol pode considerar errónea a sanción de balonmán, pero se se ignora, sancionarase.

Imaxina que os seguintes se presentan á presidencia de Grecia: Apolo, Euclides, Garza, Pitágoras i Tal. Quen elixan os votantes será presidente. Son 100. Foron elixidos por votación popular, e despois os partidos representados no Parlamento, é dicir, o Circo Máximo, estableceron a orde das súas preferencias. Algo falla porque Circus Maximus é un nome latino, non grego. Pero non discutamos coas fontes.

Quen será presidente? A ver como depende da ordenación. As preferencias do partido deben entenderse de tal xeito que os seus electores voten á primeira persoa da lista que queda nas eleccións despois da seguinte volta.

Se a sentenza estipula que gañe o candidato que coloque máis votantes en primeiro lugar, gañará Pitágoras, porque será elixido por 25 + 9 = 34 votantes. Isto é o que pasa na escola cando escollemos, por exemplo, o mellor alumno. No noso lugar: Pitágoras é elixido polo pobo!
Nas eleccións presidenciais modernas úsase con máis frecuencia o sistema de segunda volta. Votamos a un candidato, pero se ningún deles supera o 50 por cento, celébrase unha segunda volta. O gañador é quen obteña a maioría absoluta de votos, é dicir, simplemente máis votos que o seu opoñente. Neste escenario, Pitágoras (34 votos) e Tales (20) pasarán á segunda volta. Na segunda volta, os votantes reparten os seus votos segundo as súas preferencias. Todos menos os pitagóricos prefiren Tales a Pitágoras. Esta é unha situación habitual na que un partido ten un electorado duro e está rodeado de reticencias xerais. Así que na prórroga, Pitágoras non recibirá nin un só voto. Resultado 66:34 a favor de Thales e victoria decisiva. Unha situación semellante ocorreu en 2001 en Eslovaquia, onde un candidato que gañou claramente a primeira volta perdeu na segunda. O mesmo foi nas eleccións presidenciais de Polonia de 2005: o líder foi derrotado na segunda tras a primeira volta. Vivan os contos presidenciais!
No ciclismo utilízase o chamado sistema australiano. Despois de cada volta á pista, a última é eliminada. Esta versión da lei electoral chámase "elección de directores". Baixo este sistema, foi elixido o primeiro presidente da Polonia independente, Gabriel Narutowicz. Como quedaría na nosa Grecia?

O asunto é máis complicado. Faga un seguimento. Na primeira volta, Euclides recibiu o menor número de votos e abandonou (que mágoa, tan bo matemático!). A continuación, o partido vota na segunda volta ao segundo da súa lista: Tsaplya. Na segunda volta Heron ten 19 + 10 = 29 votos. Apolonio é eliminado (17 votos). Partido, e logo votar por Garza. Na terceira volta Pitágoras (electorado fixo) ten 34 votos, Thales 20 e Heron 29 + 17 = 46 votos. As historias están fóra. Aos falesianos (Partido B) tampouco lles gustan os pitagóricos: prefiren os heraldos. Outros tamén, agás os partidos estables A e E. Na quenda final, Heron derrota facilmente a Pitágoras 66:34. Viva President Heron!

4. No Festival de Eurovisión outorgáronse 12 puntos para o primeiro posto da lista, 10 para o segundo, 9 para o terceiro, etc. Supoñamos aproximadamente o mesmo resultado 6-4-3-2-1. Así, os puntos foron outorgados en tres partidos de atletismo (tres equipos, dous xogadores en cada competición, en 1958 Polonia gañou contra Estados Unidos e Gran Bretaña!). Os nosos resultados serán os seguintes:

Euklides: 4+2+3+4+6+4=23.

Apoloniusz: 2+3+4+5+3+3=20.

Цапля: 1+4+6+3+4+1=19.

Сказки: 3+6+2+2+2+2=17.

Pitagoras: 6+1+1+1+1+6=16.

Gregos, aquí está o seu presidente Euclides!

5. Os lectores adiviñan que só hai que contar os votos para que resulte que Apolonio é o mellor. De feito, Apolonio é o mellor, porque é o mellor. Todo o mundo perde ante Apolonio! Por que?

¿Por cantos electores colocaron a Apolonio por riba de Garza? Calculamos: 25+17+9=51 significa maioría. Non moito, pero aínda así.

A que distancia está Apolonio por diante de Euclides? 20 + 19 + 17 = 56, a maioría deles.

Cantos prefiren Apolonio a Tales: 19+17+10+9=55>50.

Finalmente, Apolonio de Pitágoras prefire 20 + 19 + 17 + 10 = 66 electores de 100.

Desde entón -o pobo grego, capaz de pensar loxicamente- dende entón, sobre todo, Apolonio prefire calquera outro candidato; ao fin e ao cabo, é el quen nos debe gobernar para o próximo mandato! Achégate, Apolonio, o noso presidente electo! Serás o noso 44.