Coronavirus e educación matemática: coleccións parcialmente encargadas

O virus que nos golpeou está impulsando unha rápida reforma educativa. especialmente nos niveis superiores de educación. Sobre este tema, podes escribir un ensaio máis longo, seguramente haberá un fluxo de teses de doutoramento sobre a metodoloxía da educación a distancia. Desde certo punto de vista, trátase dunha volta ás raíces e aos hábitos esquecidos do autoestudo. Así foi, por exemplo, no instituto de Kremenets (en Kremenets, agora en Ucraína, que existía en 1805-31, vexetou ata 1914 e viviu o seu auxe en 1922-1939). O alumnado estudaba alí pola súa conta -só despois de ter aprendido entraron os profesores con correccións, aclaracións finais, axuda en lugares difíciles, etc. e. Cando fun estudante, tamén dixeron que nós mesmos debíamos adquirir coñecementos, que só ordenar e mandar clases á universidade. Pero daquela era só unha teoría...

Na primavera de 2020, non son o único que descubrín que as leccións (incluíndo conferencias, exercicios, etc.) poden realizarse de xeito moi eficaz a distancia (Google Meet, Microsoft Teams, etc.), a costa de moito traballo. por parte do profesor e só un desexo de "conseguir educación" por outra banda; pero tamén con certa comodidade: sento na casa, na miña cadeira, e nas charlas tradicionais, os estudantes tamén facían algo máis. O efecto deste tipo de adestramento pode ser aínda mellor que co sistema tradicional, que se remonta á Idade Media. Que quedará del cando o virus vaia ao inferno? Creo que... bastante. Pero xa veremos.

Hoxe vou falar de conxuntos parcialmente ordenados. É sinxelo. Xa que unha relación binaria nun conxunto non baleiro X chámase relación de orde parcial cando existe

(Tadeusz Kotarbinski, 1886-1981, filósofo,

Presidente da Academia Polaca de Ciencias en 1957–1962).

1. Reflexiva, é dicir, para cada ∈ hai ",
2. Transeúnte, é dicir. se ", e ", entón ",
3. Semi-asimétrico, é dicir. ("∧")→ =

Unha cadea é un conxunto coa seguinte propiedade: para dous elementos calquera, este conxunto é "ou y". Antichain é...

¡Para, para! Pódese entender algo disto? Por suposto que o é. Pero algún dos Lectores (sabendo o contrario) xa entendeu o que hai aquí?

Non penses! E este é o canon do ensino das matemáticas. Tamén na escola. Primeiro, unha definición decente e estrita, e despois, os que non durmiron por aburrimento entenderán definitivamente algo. Este método foi imposto polos "grandes" profesores de matemáticas. Debe ser coidadoso e estrito. É certo que así debe ser ao final. As matemáticas deben ser unha ciencia exacta (Ver tamén: ).

Teño que confesar que na universidade na que traballo despois de xubilarme da Universidade de Varsovia, tamén dei clases durante tantos anos. Só nel estaba o notorio balde de auga fría (que quede así: facía falta un balde!). De súpeto, a alta abstracción fíxose lixeira e agradable. Pon atención: fácil non significa fácil. O boxeador lixeiro tamén ten dificultades.

Sorrío cos meus recordos. Ensináronme os conceptos básicos das matemáticas o daquela decano do departamento, un matemático de primeira categoría que acababa de chegar dunha longa estancia nos Estados Unidos, que daquela era algo extraordinario en si. Creo que era un pouco esnob cando se esqueceu un pouco do polaco. Ela abusou do antigo polaco "que", "polo tanto", "azalea" e acuñou o termo: "relación semi-asimétrica". Encántame usalo, é moi preciso. Gústame. Pero non lle esixo aos estudantes. Isto denomínase comunmente "antisimetría baixa". Dez fermosas.

Hai moito tempo, porque nos anos setenta (do século pasado) produciuse unha gran e gozosa reforma do ensino das matemáticas. Isto coincidiu co comezo do curto período do reinado de Eduard Gierek, unha certa apertura do noso país ao mundo. "Aos nenos tamén se lles pode ensinar matemáticas superiores", exclamaron os Grandes Mestres. Elaborouse un resumo da charla universitaria "Fundamentos de Matemáticas" para nenos. Esta era unha tendencia non só en Polonia, senón en toda Europa. Resolver a ecuación non foi suficiente, había que explicar cada detalle. Para non ser infundado, cada un dos Lectores pode resolver o sistema de ecuacións:

pero os alumnos debían xustificar cada paso, referirse a afirmacións relevantes, etc. Este era un clásico exceso de forma sobre o contido. Agora é fácil para min criticar. Eu tamén fun unha vez partidario deste enfoque. É emocionante... para os mozos apaixonados polas matemáticas. Isto, por suposto, era (e, por mor da atención, eu).

Pero xa abonda coa digresión lírica, poñémonos mans á obra: unha charla que estaba "teoricamente" destinada aos alumnos de segundo do Politécnico e que sería seca coma os flocos de coco de non ser por ela. Esaxero un pouco...

Bos días para ti. O tema de hoxe é a limpeza parcial. Non, isto non é un indicio de limpeza descoidada. A mellor comparación sería considerar cal é mellor: sopa de tomate ou bolo de crema. A resposta é clara: dependendo de que. De sobremesa - galletas, e para un prato nutritivo: sopa.

En matemáticas, tratamos os números. Están ordenados: son cada vez maiores, pero de dous números diferentes, un sempre é menor, o que significa que o outro é maior. Están dispostos en orde, como as letras do alfabeto. No diario da clase, a orde pode ser a seguinte: Adamchik, Baginskaya, Khoinitsky, Derkovsky, Elget, Filipov, Gzhechnik, Kholnitsky (son amigos e compañeiros da miña clase!). Tampouco temos dúbida de que Matusyak "Matushelyansky" Matushevsky "Matisyak. O símbolo de "dobre desigualdade" ten o significado "antes".

No meu club de viaxes, intentamos facer as listas por orden alfabético, pero polo nome, por exemplo, Alina Wronska "Warbara Kaczarska", Cesar Bouschitz, etc. Nos rexistros oficiais, a orde sería invertida. Os matemáticos refirense á orde alfabética como lexicográfica (un léxico é máis ou menos como un dicionario). Por outra banda, tal orde, na que nun nome que consta de dúas partes (Michal Shurek, Alina Wronska, Stanislav Smazhinsky) miramos primeiro a segunda parte, é unha orde antilexicográfica para os matemáticos. Títulos longos, pero contido moi sinxelo.

1. Orde lineal: estacións e paradas do ferrocarril Habovka-Zakopane desde Podhale, construído en 1899 (deixo ao lector a decodificación das abreviaturas).

Todas estas ordes chámanse ordes de liña. Ordenamos á súa vez: primeiro, segundo, terceiro. Todo está en orde, dende o primeiro punto ata o último. Non sempre ten sentido. Despois de todo, organizamos os libros na biblioteca non así, senón por seccións. Só dentro do departamento dispoñímonos de forma lineal (normalmente alfabéticamente).

2. Orde lineal: ao arrancar o motor do coche, realizamos accións nunha orde coherente.

Con proxectos máis grandes, sobre todo no traballo en equipo, xa non temos unha orde lineal. Vexamos fig. 3. Queremos construír un pequeno hotel. Xa temos cartos (celda 0). Elaboramos permisos, recollemos materiais, iniciamos a construción, e ao mesmo tempo realizamos unha campaña publicitaria, buscamos empregados, etc. Cando chegamos ao "10", os primeiros hóspedes poden rexistrarse (un exemplo das historias do señor Dombrowski e do seu pequeno hotel nos suburbios de Cracovia). Temos orde non lineal - Algunhas cousas poden ocorrer paralelamente.

En economía, aprenderás sobre o concepto de camiño crítico. Este é o conxunto de accións que se deben realizar secuencialmente (e isto chámase cadea en matemáticas, máis sobre iso nun momento), e que levan máis tempo. Reducir o tempo de construción é unha reorganización do camiño crítico. Pero máis sobre isto noutras conferencias (lémbrovos que estou lendo unha “charla universitaria”). Centrámonos nas matemáticas.

Diagramas como a figura 3 chámanse diagramas de Hasse (Helmut Hasse, matemático alemán, 1898–1979). Todo esforzo complexo debe ser planificado deste xeito. Vemos secuencias de accións: 1-5-8-10, 2-6-8, 3-6, 4-7-9-10. Os matemáticos chámanlles cordas. Toda a idea consta de catro cadeas. Pola contra, os grupos de actividade 1-2-3-4, 5-6-7 e 8-9 son anticadenas. Velaquí como se chaman. O caso é que nun determinado grupo ningunha das accións depende do anterior.

4. Este tamén é un diagrama de Hasse.

imos a figura 4. Que é impresionante? Pero podería ser un mapa do metro nalgunha cidade! Os ferrocarrís subterráneos están sempre agrupados en liñas: non pasan duns a outros. As liñas son liñas separadas. Na cidade de Fig. 4 é asar liña (lembra que asar escríbese "boldem" -en polaco chámase semigroso).

Neste diagrama (Fig. 4) hai un ABF amarelo curto, un ACFPS de seis estacións, un ADGL verde, un DGMRT azul e o vermello máis longo. O matemático dirá: este diagrama de Hasse ten asar cadeas. Está na liña vermella sete estación: AEINRUW. E anticadeas? Aí están sete. O lector xa se decatou de que subliñei dúas veces a palabra sete.

Anticipación este é un conxunto de estacións tal que é imposible ir dunha delas a outra sen transbordo. Cando "entendamos" un pouco, veremos as seguintes anticadeas: A, BCLTV, DE, FGHJ, KMN, PU, ​​​​SR. Comprobe, por exemplo, que non é posible viaxar de ningunha das emisoras BCLTV a outra BCTLV sen cambios, máis precisamente: sen ter que volver á estación que se mostra a continuación. Cantas anticadeas hai? Sete. Que tamaño é o máis grande? Ás (de novo en negra).

Podedes imaxinar, estudantes, que a coincidencia destes números non é casual. Isto. Isto foi descuberto e demostrado (é dicir, sempre así) en 1950 por Robert Palmer Dilworth (1914–1993, matemático estadounidense). O número de filas necesarias para cubrir todo o conxunto é igual ao tamaño da anticadea máis grande, e viceversa: o número de anticadeas é igual á lonxitude da anticadea máis longa. Este é sempre o caso nun conxunto parcialmente ordenado, é dicir. aquel que se pode visualizar. Diagrama de Hassego. Esta non é unha definición moi estrita e correcta. Isto é o que os matemáticos chaman unha "definición de traballo". Isto é algo diferente da "definición de traballo". Esta é unha suxestión sobre como entender conxuntos parcialmente ordenados. Esta é unha parte importante de calquera formación: mira como funciona.

A abreviatura inglesa é: esta palabra soa fermoso nas linguas eslavas, un pouco como un cardo. Teña en conta que o cardo tamén está ramificado.

Moi bonito, pero quen o necesita? Vostedes, queridos estudantes, precisan para aprobar o exame, e probablemente esta sexa unha razón suficiente para estudalo. Estou escoitando, que preguntas? Estou escoitando, señor de debaixo da fiestra. Ah, a pregunta é, será isto algunha vez útil para o Señor na túa vida? Quizais non, pero para alguén máis intelixente ca ti, seguro... Quizais para análise de camiños críticos nun proxecto económico complexo?

Escribo este texto a mediados de xuño, as eleccións do reitor están en curso na Universidade de Varsovia. Lin varios comentarios de internautas. Hai unha cantidade sorprendente de odio (ou "odio") cara a "xente educada". Alguén escribiu sen rodeos que as persoas con estudos universitarios saben menos que as que teñen unha formación universitaria. Por suposto, non entrarei na discusión. Estou triste porque volva a opinión establecida na República Popular de Polonia de que todo se pode facer cun martelo e cun cincel. Volvo ás matemáticas.

Teorema de Dillworth ten varios usos interesantes. Un deles coñécese como o teorema do matrimonio.fig. 6). 

Hai un grupo de mulleres (máis ben de nenas) e un grupo de homes algo maior. Toda nena pensa algo así: "Podería casar con esta, por outra, pero nunca na miña vida por unha terceira". E así por diante, cada un ten as súas propias preferencias. Debuxamos un diagrama, levando a cada un deles unha frecha do tipo ao que non rexeita como candidato ao altar. P: Pódense emparellar parellas para que cada unha atope un marido que acepte?

Teorema de Philip Hall, di que isto se pode facer - baixo certas condicións, que non vou discutir aquí (entón na próxima charla, estudantes, por favor). Teña en conta, porén, que aquí non se menciona en absoluto a satisfacción masculina. Como sabedes, as mulleres son as que nos elixen, e non á inversa, como nos parece (lémbrovos que son autora, non autora).

Unhas matemáticas serias. Como segue o teorema de Hall de Dilworth? É moi sinxelo. Vexamos de novo a figura 6. As cadeas que hai alí son moi curtas: teñen unha lonxitude de 2 (que van en dirección). Un conxunto de homes pequenos é un anti-cadea (precisamente porque as frechas son só cara). Así, podes cubrir toda a colección con tantas anticadeas como homes haxa. Entón, cada muller terá unha frecha. E iso significa que pode parecer o tipo que acepta!!!

Espera, pregunta alguén, iso é todo? É todo unha aplicación? As hormonas dalgún xeito levaranse ben e por que as matemáticas? En primeiro lugar, esta non é toda a aplicación, senón só unha dunha gran serie. Vexamos un deles. Imos (Fig. 6) significar non representantes do mellor sexo, senón compradores prosaicos, e estes son marcas, por exemplo, coches, lavadoras, produtos para adelgazar, ofertas de axencias de viaxes, etc. Cada comprador ten marcas que acepta e acepta. rexeita. Pódese facer algo para vender algo a todos e como? Aquí é onde rematan non só as bromas, senón tamén o coñecemento do autor do artigo sobre este tema. O único que sei é que a análise baséase en matemáticas bastante complexas.

Ensinar matemáticas na escola é ensinar algoritmos. Esta é unha parte importante da aprendizaxe. Pero aos poucos imos avanzando cara a aprender non tanto as matemáticas como o método matemático. A charla de hoxe trataba só diso: estamos a falar de construcións mentais abstractas, estamos a pensar na vida cotiá. Estamos a falar de cadeas e anticadenas en conxuntos con relacións inversas, transitivas e outras que empregamos nos modelos vendedor-comprador. O ordenador fará todos os cálculos por nós. Aínda non creará modelos matemáticos. Aínda gañamos co noso pensamento. En fin, oxalá o maior tempo posible!