Viaxe ao mundo irreal das matemáticas

Escribín este artigo nun dos ambientes, despois dunha charla e práctica nunha facultade de informática. Deféndome das críticas ao alumnado desta escola, os seus coñecementos, actitude ante a ciencia e, o máis importante, as súas capacidades docentes. Isto... ninguén lles ensina.

Por que estou tan á defensiva? Por unha simple razón: estou nunha idade na que, probablemente, aínda non se entende o mundo que nos rodea. Quizais lles estou ensinando a tirar e desenganchar os cabalos, e non a conducir un coche? Quizais lles ensino a escribir cun bolígrafo? Aínda que teño unha mellor opinión dunha persoa, considérome "seguindo", pero...

Ata hai pouco, no instituto, falaban de números complexos. E foi este mércores cando volvín a casa, deixei: case ningún dos estudantes aprendeu aínda o que é e como usar estes números. Algúns miran todas as matemáticas coma un ganso nunha porta pintada. Pero tamén me sorprendeu sinceramente cando me dixeron como aprender. En pocas palabras, cada hora de charla son dúas horas de deberes: ler un libro de texto, aprender a resolver problemas sobre un tema determinado, etc. Preparados deste xeito, chegamos aos exercicios, onde melloramos todo... Agradablemente, o alumnado, ao parecer, pensaba que sentarse na charla -a maioría das veces mirando pola fiestra- xa garante a entrada de coñecementos na cabeza.

Pare! Basta con isto. Describirei a miña resposta a unha pregunta que recibín durante unha clase con compañeiros do National Children's Fund, unha institución que apoia a nenos con talento de todo o país. A pregunta (ou mellor dito a suxestión) era:

— Poderías dicirnos algo sobre os números irreais?

"Por suposto", respondín. 

A realidade dos números

"Un amigo é outro eu, a amizade é a proporción dos números 220 e 284", dixo Pitágoras. O punto aquí é que a suma dos divisores do número 220 é 284 e a suma dos divisores do número 284 é 220:

1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220

1 + 2 + 4 + 5 + 10 = 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284. Por certo, observamos que o bíblico Xacob deu a Esaú 220 ovellas e carneiros como sinal de amizade (Xénese 32:14). ).

Outra coincidencia interesante entre os números 220 e 284 é esta: os dezasete números primos máis altos son 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53 , e 59.

A súa suma é 2x220 e a suma dos cadrados é 59x284.

Primeira. Non existe o concepto de "número real". É como se despois de ler un artigo sobre elefantes, preguntas: "Agora imos pedir por non elefantes". Hai enteiros e non enteiros, racionais e irracionais, pero non hai irreais. En concreto: Os números que non son reais non se chaman inválidos. Hai moitos tipos de "números" en matemáticas, e diferéncianse entre si, como -para facer unha comparación zoolóxica- un elefante e unha miñoca.

En segundo lugar, realizaremos operacións que xa sabedes que están prohibidas: extraer as raíces cadradas de números negativos. Ben, as matemáticas superarán tales barreiras. Non obstante, ten sentido? En matemáticas, como en calquera outra ciencia, que unha teoría entre para sempre no repositorio do coñecemento depende... da súa aplicación. Se é inútil, entón acaba no lixo, logo nalgún lixo da historia do coñecemento. Sen os números dos que falo ao final deste artigo, é imposible desenvolver as matemáticas. Pero imos comezar con algunhas pequenas cousas. Que son os números reais, xa sabes. Enchen a recta numérica densamente e sen ocos. Tamén sabes o que son os números naturais: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, ...... - non caberán todos. memoria ata o máis grande. Tamén teñen un fermoso nome: natural. Teñen moitas propiedades interesantes. Como che gusta isto:

1 + 15 + 42 + 98 + 123 + 179 + 206 + 220 = 3 + 11 + 46 + 92 + 129 + 175 + 210 + 218

1² + 15² + 42² + 98² + 123² + 179² + 206² + 220² = 3² + 11² + 46² + 92² + 129² + 175² + 210² + 218²

1³ + 15³ + 42³ + 98³ + 123³ + 179³ + 206³ + 220³ = 3³ + 11³ + 46³ + 92³ + 129³ + 175³ + 210³ + 218³

1⁴ + 15⁴ + 42⁴ + 98⁴ + 123⁴ + 179⁴ + 206⁴ + 220⁴ = 3⁴ + 11⁴ + 46⁴ + 92⁴ + 129⁴ + 175⁴ + 210⁴ + 218⁴

1⁵ + 15⁵ + 42⁵ + 98⁵ + 123⁵ + 179⁵ + 206⁵ + 220⁵ = 3⁵ + 11⁵ + 46⁵ + 92⁵ + 129⁵ + 175⁵ + 210⁵ + 218⁵

1⁶ + 15⁶ + 42⁶ + 98³ + 123⁶ + 179⁶ + 206⁶ + 220⁶ = 3⁶ + 11⁶ + 46⁶ + 92⁶ + 129⁶ + 175⁶ + 210⁶ + 218⁶

1⁷ + 15⁷ + 42⁷ + 98³ + 123⁷ + 179⁷ + 206⁷ + 220⁷ = 3⁷ + 11⁷ + 46⁷ + 92⁷ + 129⁷ + 175⁷ + 210⁷ + 218⁷

"É natural interesarse polos números naturais", dixo Karl Lindenholm, e Leopold Kronecker (1823-1891) expresouno de forma sucinta: "Deus creou os números naturais; todo o demais é obra do home!" As fraccións (chamadas números racionais polos matemáticos) tamén teñen propiedades sorprendentes:

e en igualdade:

podes, comezando polo lado esquerdo, fregar os plus e substituílos por signos de multiplicación, e a igualdade seguirá sendo verdadeira:

E así por diante.

Como sabes, para as fraccións a/b, onde a e b son números enteiros, e b ≠ 0, din número racional. Pero só en polaco chámanse así. Falan inglés, francés, alemán e ruso. número racional. En inglés: rational numbers. Números irracionais é irracional, irracional. Tamén falamos polaco sobre teorías, ideas e feitos irracionais: isto é unha loucura, imaxinario, inexplicable. Din que as mulleres teñen medo aos ratos, non é tan irracional?

Nos tempos antigos, os números tiñan alma. Cada un significaba algo, cada un simbolizaba algo, cada un reflectía unha partícula desa harmonía do Universo, é dicir, en grego, o Cosmos. A propia palabra "cosmos" significa exactamente "orde, orde". Os máis importantes foron o seis (o número perfecto) e o dez, a suma dos números consecutivos 1+2+3+4, formados por outros números cuxo simbolismo pervive ata hoxe. Entón Pitágoras ensinou que os números son o principio e a fonte de todo, e só o descubrimento números irracionais converteu o movemento pitagórico cara á xeometría. Sabemos o razoamento da escola que

√2 é un número irracional

Pois supoñamos que hai: e que esta fracción non se pode reducir. En particular, tanto p como q son impares. Imos cadrar: 2q²=p². O número p non pode ser impar, xa que entón p² tamén sería, e o lado esquerdo da igualdade é múltiplo de 2. Polo tanto, p é par, é dicir, p = 2r, polo tanto p²= 4r². Reducimos a ecuación 2q²= 4r² por 2. Obtemos q²= 2r² e vemos que q tamén debe ser par, o que asumimos que non é así. A contradición resultante completa a demostración - esta fórmula pódese atopar a miúdo en todos os libros de matemáticas. Esta proba circunstancial é un truco favorito dos sofistas.

Esta inmensidade non podía ser entendida polos pitagóricos. Todo debe poder describirse mediante números, e a diagonal dun cadrado, que calquera pode debuxar cun pau pola area, non ten lonxitude, é dicir, medible. "A nosa fe foi en balde", parecen dicir os pitagóricos. E logo? É algo... irracional. A Unión intentou salvarse por métodos sectarios. Calquera persoa que se atreva a revelar a súa existencia números irracionais, ía ser castigado coa morte e, ao parecer, a primeira sentenza foi executada polo propio mestre.

Pero "o pensamento pasou ileso". A idade de ouro chegou. Os gregos derrotaron aos persas (Maratón 490, Bloque 479). Reforzouse a democracia, xurdiron novos centros de pensamento filosófico e novas escolas. Os pitagóricos aínda estaban loitando cos números irracionais. Algúns predicaban: non comprenderemos este misterio; só podemos contemplar e marabillarnos con Uncharted. Estes últimos eran máis pragmáticos e non respectaban o Misterio. Nese momento apareceron dúas construcións mentais que permitían comprender os números irracionais. O feito de que os entendamos abondo hoxe en día pertence a Eudoxo (século V a.C.), e só a finais do século XIX o matemático alemán Richard Dedekind deu á teoría de Eudoxo o desenvolvemento adecuado de acordo coas esixencias de rigor. lóxica matemática.

Masa de figuras ou tortura

Poderías vivir sen números? Aínda que que sería a vida... Teríamos que ir á tenda a mercar zapatos cun pau, que previamente medimos a lonxitude do pé. "Gustaríame mazás, ah, aquí está!" – mostraríamos aos vendedores no mercado. "A que distancia está Modlin de Nowy Dwur Mazowiecki"? "Moi preto!"

Os números úsanse para medir. Coa súa axuda, tamén expresamos moitos outros conceptos. Por exemplo, a escala do mapa mostra canto diminuíu a área do país. Unha escala de dous a un, ou simplemente 2, expresa o feito de que algo se duplicou en tamaño. Digamos matemáticamente: cada homoxeneidade corresponde a un número - a súa escala.

Tarefa. Fixemos unha copia xeográfica, ampliando a imaxe varias veces. A continuación, o fragmento ampliado foi ampliado de novo b veces. Cal é a escala xeral de aumento? Resposta: a × b multiplicado por b. Estas escalas hai que multiplicalas. O número "menos un", -1, corresponde a unha precisión que está centrada, é dicir, xira 180 graos. Que número corresponde a un xiro de 90 graos? Non existe tal número. É, é... ou mellor dito, será pronto. Estás preparado para a tortura moral? Sexa valente e toma a raíz cadrada de menos un. Estou escoitando? Que non podes? Despois de todo, díxenche que foses valente. Sacao! Ei, bueno, tira, tira... Axudarei... Aquí: -1 Agora que o temos, intentemos usalo... Por suposto, agora podemos extraer as raíces de todos os números negativos, por exemplo.:

√-4 = 2√-1, √-16 = 4√-1

"Independentemente da angustia mental que supoña". Isto é o que escribiu Girolamo Cardano en 1539, tratando de superar as dificultades mentais asociadas a -como pronto se chegou a chamar- cantidades imaxinarias. Considerou estes...

...Tarefa. Divide o 10 en dúas partes, cuxo produto é 40. Lembro que do episodio anterior escribiu algo así: Certamente imposible. Non obstante, imos facer isto: dividir 10 en dúas partes iguais, cada unha igual a 5. Multiplícaos: resultou 25. Do 25 resultante, agora resta 40, se queres, e obtén -15. Agora mira: √-15 sumado e restado de 5 dáche o produto de 40. Estes son os números 5-√-15 e 5 + √-15. A verificación do resultado foi realizada por Cardano do seguinte xeito:

"Independentemente da dor que supoña, multiplica 5 + √-15 por 5-√-15. Temos 25 - (-15), que é igual a 25 + 15. Entón, o produto é 40 .... É realmente difícil".

Ben, canto é: (1 + √-1) (1-√-1)? Multipliquémonos. Lembre que √-1 × √-1 = -1. Genial. Agora unha tarefa máis difícil: de a + b√-1 a ab√-1. Que pasou? Certamente, así: (a + b√-1) (ab√-1) = a²+b²

Que ten de interesante isto? Por exemplo, o feito de poder factorizar expresións que "non coñeciamos antes". A fórmula de multiplicación abreviada para²-b² Lembras a fórmula para²+b² non foi, porque non puido ser. No dominio dos números reais, o polinomio²+b² é inevitable. Denotemos "a nosa" raíz cadrada de "menos un" coa letra i.²= -1. É un número primo "irreal". E iso é o que describe un xiro de 90 graos dun avión. Por que? Despois de todo,²= -1, e combinando unha rotación de 90 graos e outra de 180 graos dáse unha rotación de 45 graos. Que tipo de rotación se describe? Obviamente un xiro de XNUMX graos. Que quere dicir o -i? É un pouco máis complicado:

(-I)² = -i × (-i) = +i² = -1

Entón -i tamén describe unha rotación de 90 graos, xusto na dirección oposta á rotación de i. Cal é a esquerda e cal a dereita? Debes pedir cita. Supoñemos que o número i especifica unha rotación nunha dirección que os matemáticos consideran positiva: no sentido antihorario. O número -i describe a rotación na dirección na que se moven os punteiros.

Pero existen números como i e -i? Son! Acabamos de darlles vida. Estou escoitando? Que só existen na nosa cabeza? Pois que esperar? Todos os demais números tamén existen só na nosa mente. Temos que ver se os nosos recén nacidos sobreviven. Máis precisamente, se o deseño é lóxico e se serán útiles para algo. Por favor, cómpre na miña palabra que todo está en orde e que estes novos números son realmente útiles. Os números como 3+i, 5-7i, de xeito máis xeral: a+bi chámanse números complexos. Mostreiche como podes conseguilos facendo xirar o avión. Pódense introducir de diferentes xeitos: como puntos nun plano, como algúns polinomios, como algún tipo de matrices numéricas... e cada vez son iguais: a ecuación x² +1=0 non hai ningún elemento... hocus pocus xa está alí!!!! Alegremonos e alegramos!!!

Fin da xira

Así remata a nosa primeira xira polo país dos números falsos. Dos outros números extraterrestres, tamén mencionarei aqueles que teñen un número infinito de díxitos por diante, e non por detrás (chámanse 10-ádicos, para nós son máis importantes os p-ádicos, onde p é un número primo), pois exemplo X = … … … 96109004106619977392256259918212890625

Contamos X por favor². Porque? E se calculamos o cadrado dun número seguido dun número infinito de díxitos? Ben, fagamos o mesmo. Sabemos que x² = X.

Atopemos outro número deste tipo con un número infinito de díxitos diante que satisfaga a ecuación. Consello: o cadrado dun número que remata en seis tamén remata en seis. O cadrado dun número que remata en 76 tamén remata en 76. O cadrado dun número que remata en 376 tamén remata en 376. O cadrado dun número que remata en 9376 tamén remata en 9376. O cadrado dun número que remata en XNUMX. XNUMX o… Tamén hai números tan pequenos que, sendo positivos, seguen sendo máis pequenos que calquera outro número positivo. Son tan pequenos que ás veces basta con cadralos para conseguir cero. Hai números que non cumpren a condición a × b = b × a. Tamén hai números infinitos. Cantos números naturais hai? Infinitamente moitos? Si, pero canto? Como se pode expresar isto como un número? Resposta: o menor dos infinitos números; está marcado cunha fermosa letra: A e completada cun índice cero A₀ , alef-cero.

Tamén hai números que non sabemos que existen... ou que podes crer ou non crer como queiras. E falando de cousas similares: espero que aínda che gusten os números irreais, os números de especies fantásticas.