encanto inverso

Fálase moito do “encanto dos contrarios”, e non só en matemáticas. Lembra que os números opostos son os que só difiren no signo: máis 7 e menos 7. A suma dos números opostos é cero. Pero para nós (é dicir, os matemáticos) os recíprocos son máis interesantes. Se o produto dos números é igual a 1, entón estes números son inversos entre si. Todo número ten o seu oposto, todo número distinto de cero ten o seu inverso. O recíproco do recíproco é a semente.

A inversión prodúcese sempre que dúas cantidades están relacionadas entre si, de modo que se unha aumenta, a outra diminúe ao ritmo correspondente. "Relevante" significa que o produto destas cantidades non cambia. Lembramos da escola: esta é unha proporción inversa. Se quero chegar ao meu destino o dobre de rápido (é dicir, reducir o tempo á metade), teño que duplicar a miña velocidade. Se o volume dun recipiente selado con gas se reduce n veces, entón a súa presión aumentará n veces.

Na educación primaria, distinguimos coidadosamente entre comparacións diferenciais e relativas. "Canto máis"? -"Cantas veces máis?"

Aquí tes algunhas actividades escolares:

1 traballo. Dos dous valores positivos, o primeiro é 5 veces maior que o segundo e ao mesmo tempo 5 veces maior que o primeiro. Cales son as dimensións?

2 traballo. Se un número é 3 maior que o segundo e o segundo é 2 maior que o terceiro, canto maior é o primeiro número que o terceiro? Se o primeiro número positivo é o dobre do segundo e o primeiro número é tres veces o terceiro, cantas veces é maior o primeiro que o terceiro?

3 traballo. Na tarefa 2 só se permiten números naturais. É posible un arranxo como o descrito alí?

4 traballo. Dos dous valores positivos, o primeiro é 5 veces o segundo e o segundo é 5 veces o primeiro. É posible?

O concepto de "medio" ou "promedio" parece moi sinxelo. Se percorrín 55 km o luns, 45 km o martes e 80 km o mércores, de media 60 km ao día. Estamos totalmente de acordo con estes cálculos, aínda que son un pouco estraños porque non fixen 60 km nun día. Aceptamos con igual facilidade as accións dunha persoa: se duascentas persoas visitan un restaurante nun prazo de seis días, a tarifa media diaria é de 33 e unha terceira persoa. Hm!

Hai problemas só co tamaño medio. Gústame andar en bicicleta. Así que aproveitei a oferta da axencia de viaxes "Imos connosco": entregan a equipaxe ao hotel, onde o cliente vai en bicicleta con fins recreativos. O venres conducín catro horas: as dúas primeiras a unha velocidade de 24 km por hora. Entón canseime tanto que durante os dous seguintes a un ritmo de só 16 por hora. Cal foi a miña velocidade media? Por suposto (24+16)/2=20km=20km/h.

O sábado, porén, a equipaxe quedou no hotel, e fun ver as ruínas do castelo, que está a 24 km, e víndoas, volvín. Conduín unha hora nun sentido, volvín máis lentamente, a unha velocidade de 16 km por hora. Cal foi a miña velocidade media na ruta hotel-castelo-hotel? 20 km por hora? Por suposto que non. Despois, percorrín un total de 48 km e levoume unha hora (“alí”) e hora e media de volta. 48 km en dúas horas e media, é dicir. hora 48/2,5=192/10=19,2 km! Nesta situación, a velocidade media non é a media aritmética, senón a harmónica dos valores dados:

e esta fórmula de dous andares pódese ler do seguinte xeito: a media harmónica dos números positivos é o recíproco da media aritmética do seu recíproco. O recíproco da suma dos recíprocos aparece en moitos coros de tarefas escolares: se un traballador cava horas, o outro - b horas, entón, traballando xuntos, cavan a tempo. piscina de auga (unha por hora, a outra a b horas). Se un resistor ten R1 e o outro ten R2, entón teñen unha resistencia paralela. 

Se un ordenador pode resolver un problema en segundos, outro ordenador en b segundos, entón cando traballen xuntos...

Pare! Aquí remata a analoxía, porque todo depende da velocidade da rede: da eficiencia das conexións. Os traballadores tamén poden estorbar ou axudarse mutuamente. Se un home pode cavar un pozo en oito horas, poden facelo oitenta traballadores en 1/10 de hora (ou 6 minutos)? Se seis porteadores levan o piano ao primeiro piso en 6 minutos, canto tempo tardará un deles en entregar o piano ao piso sesenta? O absurdo destes problemas trae á memoria a limitada aplicabilidade de todas as matemáticas a problemas "da vida".

Sobre un vendedor poderoso 

As balanzas xa non se usan. Lembre que un peso foi colocado nunha cunca de tales básculas, e as mercadorías que se pesaban colocáronse na outra, e cando o peso estaba en equilibrio, entón a mercadoría pesaba tanto como o peso. Por suposto, os dous brazos da carga de peso deben ter a mesma lonxitude, se non, a pesaxe será incorrecta.

Correcto. Imaxina un vendedor que ten un peso cunha influencia desigual. Non obstante, quere ser honesto cos clientes e pesa a mercadoría en dous lotes. En primeiro lugar, pon un peso nunha tixola e na outra a cantidade correspondente de mercadorías, para que as balanzas estean en equilibrio. A continuación, pesa a segunda "metade" da mercadoría en orde inversa, é dicir, coloca o peso na segunda cunca e as mercadorías na primeira. Dado que as mans son desiguais, as "metades" nunca son iguais. E a conciencia do vendedor está clara, e os compradores enxalzan a súa honestidade: "O que quitei aquí, engadíno".

Porén, vexamos máis de cerca o comportamento dun vendedor que quere ser honesto a pesar do precario peso. Que os brazos da balanza teñan lonxitudes a e b. Se unha das cuncas está cargada cun quilogramo de peso e a outra con x mercadorías, entón a balanza está en equilibrio se ax = b a primeira vez e bx = a a segunda vez. Entón, a primeira parte da mercadoría é igual a b / a quilogramo, a segunda parte é a / b. O peso bo ten a = b, polo que o comprador recibirá 2 kg de mercadorías. Vexamos que pasa cando a ≠ b. Entón a – b ≠ 0 e da fórmula de multiplicación reducida temos

Chegamos a un resultado inesperado: o método aparentemente xusto de "promediar" a medición neste caso funciona en beneficio do comprador, que recibe máis mercadorías.

Tarefa 5. (Importante, de ningún xeito en matemáticas!). Un mosquito pesa 2,5 miligramos e un elefante cinco toneladas (este é un dato bastante correcto). Calcula a media aritmética, a media xeométrica e a media harmónica das masas (pesos) dos mosquitos e dos elefantes. Comproba os cálculos e mira se teñen algún sentido ademais dos exercicios aritméticos. Vexamos outros exemplos de cálculos matemáticos que non teñen sentido na “vida real”. Consello: xa analizamos un exemplo neste artigo. Significa isto que un estudante anónimo cuxa opinión atopei en Internet tiña razón: “As matemáticas enganan á xente cos números”?

Si, estou de acordo en que, na grandeza das matemáticas, podes "enganar" á xente: cada segundo anuncio de xampú di que aumenta a suavidade nunha porcentaxe. Buscaremos outros exemplos de útiles ferramentas cotiás que se poidan utilizar para actividades delituosas?

Gramos!

O título desta pasaxe é un verbo (primeira persoa do plural) e non un substantivo (nominativo plural dunha milésima de quilogramo). A harmonía implica orde e música. Para os antigos gregos, a música era unha rama da ciencia; hai que admitir que se o dicimos, trasladamos o significado actual da palabra "ciencia" á época anterior á nosa era. Pitágoras viviu no século XNUMX a.C. Non só non coñecía un ordenador, teléfono móbil e correo electrónico, senón que tampouco sabía quen eran Robert Lewandowski, Mieszko I, Carlomagno e Cicerón. Non coñecía nin os números árabes nin sequera romanos (estiveron en uso ao redor do século V a.C.), non sabía o que eran as guerras púnicas... Pero sabía a música...

Sabía que nos instrumentos de corda os coeficientes de vibración eran inversamente proporcionais á lonxitude das partes que vibraban das cordas. El sabía, sabía, simplemente non podía expresalo como o facemos hoxe.

As frecuencias das dúas vibracións das cordas que forman unha oitava están nunha proporción de 1:2, é dicir, a frecuencia da nota máis alta é o dobre da frecuencia da inferior. A relación de vibración correcta para a quinta é 2:3, a cuarta é 3:4, a terceira maior pura é 4:5, a terceira menor é 5:6. Estes son intervalos consonánticos agradables. Despois hai dous neutros, con relacións de vibración de 6:7 e 7:8, despois disonantes: un ton grande (8:9), un ton pequeno (9:10). Estas fraccións (razóns) son como as razóns dos membros sucesivos dunha secuencia que os matemáticos (por iso mesmo) chaman serie harmónica:

é unha suma teoricamente infinita. A proporción de oscilacións da oitava pódese escribir como 2:4 e poñer unha quinta entre elas: 2:3:4, é dicir, dividiremos a oitava nunha quinta e unha cuarta. Isto chámase división de segmentos harmónicos en matemáticas:

Arroz. 1. Para un músico: dividir a oitava AB na quinta AC.Para Matemático: Segmentación Harmónica

Que quero dicir cando falo (arriba) dunha suma teoricamente infinita, como a serie harmónica? Resulta que tal suma pode ser calquera número grande, o principal é que engadimos durante moito tempo. Cada vez hai menos ingredientes, pero cada vez hai máis. Que prevalece? Aquí entramos no ámbito da análise matemática. Resulta que os ingredientes están esgotados, pero non moi rápido. Vou demostrar que tomando suficientes ingredientes, podo resumir:

arbitrariamente grande. Tomemos "por exemplo" n = 1024. Agrupemos as palabras como se mostra na figura:

En cada paréntese, cada palabra é maior que a anterior, agás, por suposto, a última, que é igual a si mesma. Nos parénteses seguintes, temos 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 e 512 compoñentes; o valor da suma en cada paréntese é maior que ½. Todo isto é máis de 5½. Cálculos máis precisos mostrarían que esta cantidade é de aproximadamente 7,50918. Non moito, pero sempre, e podes ver que, tomando n calquera grande, podo superar calquera número. Este é incriblemente lento (por exemplo, superamos os dez só con ingredientes), pero o crecemento infinito sempre fascinou aos matemáticos.

Viaxe ao infinito coa serie harmónica

Aquí tes un crebacabezas para unhas matemáticas bastante serias. Temos unha oferta ilimitada de bloques rectangulares (que podo dicir, rectangulares!) con dimensións, digamos, 4 × 2 × 1. Considere un sistema formado por varios (en fig. 2 - catro) bloques, dispostos de forma que o primeiro estea inclinado ½ da súa lonxitude, o segundo desde arriba ¼ e así sucesivamente, o terceiro un sexto. Ben, quizais para que sexa realmente estable, inclinemos o primeiro ladrillo un pouco menos. Non importa para os cálculos.

Arroz. 2. Determinación do centro de gravidade

Tamén é doado entender que dado que a figura composta polos dous primeiros bloques (contando desde arriba) ten un centro de simetría no punto B, entón B é o centro de gravidade. Definamos xeométricamente o centro de gravidade do sistema, composto polos tres bloques superiores. Aquí abonda un argumento moi sinxelo. Dividamos mentalmente a composición de tres bloques en dous superiores e un terceiro inferior. Este centro debe situarse na sección que une os centros de gravidade das dúas partes. En que momento deste episodio?

Hai dúas formas de designar. No primeiro, utilizaremos a observación de que este centro debe situarse no medio da pirámide de tres bloques, é dicir, nunha liña recta que cruza o segundo bloque medio. En segundo lugar, entendemos que dado que os dous bloques superiores teñen unha masa total dobre que a dun só bloque #3 (arriba), o centro de gravidade desta sección debe estar o dobre de B que do centro. S do terceiro bloque. Do mesmo xeito, atopamos o seguinte punto: conectamos o centro atopado dos tres bloques co centro S do cuarto bloque. O centro de todo o sistema está á altura 2 e no punto que divide o segmento entre 1 e 3 (é dicir, por ¾ da súa lonxitude).

Os cálculos que realizaremos un pouco máis levan ao resultado que se mostra na Fig. fig. 3. Os centros de gravidade consecutivos elimínanse do bordo dereito do bloque inferior mediante:

Así, a proxección do centro de gravidade da pirámide está sempre dentro da base. A torre non vai caer. Agora vexamos fig. 3 e por un momento, utilicemos como base o quinto bloque da parte superior (o marcado coa cor máis brillante). Inclinado superior:

así, o seu bordo esquerdo está 1 máis lonxe que o bordo dereito da base. Aquí está o seguinte balance:

Cal é o balance máis grande? Xa o sabemos! Non hai o maior! Tomando ata os bloques máis pequenos, podes obter un saliente dun quilómetro, desafortunadamente, só matemáticamente: a Terra enteira non sería suficiente para construír tantos bloques.

Arroz. 3. Engade máis bloques

Agora os cálculos que deixamos arriba. Calcularemos todas as distancias "horizontalmente" no eixe x, porque é todo o que hai. O punto A (o centro de gravidade do primeiro bloque) está a 1/2 do bordo dereito. O punto B (o centro do sistema de dous bloques) está a 1/4 do bordo dereito do segundo bloque. Que o punto de partida sexa o final do segundo bloque (agora pasaremos ao terceiro). Por exemplo, onde está o centro de gravidade do bloque único número 3? Polo tanto, a metade da lonxitude deste bloque está a 1/2 + 1/4 = 3/4 do noso punto de referencia. Onde está o punto C? En dous terzos do segmento entre 3/4 e 1/4, é dicir, no punto anterior, cambiamos o punto de referencia ao bordo dereito do terceiro bloque. O centro de gravidade do sistema de tres bloques elimínase agora do novo punto de referencia, etc. Centro de gravidade C_n unha torre composta de n bloques está a 1/2 n do punto de referencia instantáneo, que é o bordo dereito do bloque base, é dicir, o bloque n-ésimo desde a parte superior.

Dado que a serie de recíprocos diverxe, podemos obter calquera gran variación. Pódese realmente implementar isto? É como unha torre de ladrillo sen fin - tarde ou cedo derrubarase polo seu propio peso. No noso esquema, as mínimas imprecisións na colocación dos bloques (e o lento aumento das sumas parciais da serie) significan que non chegaremos moi lonxe.