matemáticas de cores

Un lector acusoume de facer alusións políticas nos meus traballos sobre matemáticas. Ben, só falaba de adestramento. A escola sempre foi un tema político, aínda cando se supoñía que era apolítico en canto ao software. A principios de abril, tras a introdución de restricións cardinais na nosa vida pública, a demanda de educación a distancia aumentou drasticamente. Parte do meu artigo é unha reacción a unha serie de conferencias de televisión para estudantes de primaria. Causaron unha tormenta no mundo dos profesores de matemáticas: estaban cheos de tonterías, como un vello barril de auga tirado a un lago. Para que ninguén me acuse de politización, non vou escribir de que televisión se trataba.

O texto é fragmentario: comezo cunha conversa para nenos pequenos, pero paso ao razoamento para adultos e viceversa. Isto non é para aburrirte. Primeiro para os nenos. Esta é a miña voz na discusión sobre como (ben, como podes) falar cos nenos sobre a "Raíña das Ciencias".

Exercicio 1. Bótalle un ollo ao meu primeiro crebacabezas. Que ves nel?

Onde vives? Marcos. Cres que escollín as cores dos nosos bordos por casualidade, ou podes atopar unha explicación por que a "arriba" é de cor azul verdosa e a "abaixo" unha figura branca? Pero por que escribín "arriba" e "abaixo"? Despois de todo, estas partes do mundo chámanse... ben, como exactamente? E os outros dous? Ou quizais sabes por que as designacións internacionais dos catro puntos cardinais son N, E, W, S?

Exercicio 2. Observa os sinais viarios (1). A que podemos chamar cadrado? E por que as esquinas do primeiro e do terceiro están redondeadas? Descubra que sinais viarios teñen forma triangular, circular (circular) e octogonal. Por que un signo triangular é diferente dos outros? Por que só un signo octogonal?

1. Cales destes símbolos son cadrados?

Exercicio 3. Entra en liña. Levantar calquera navegador. Escribe "cadrado", despois selecciona "fotos" e... mira as imaxes que hai. Non todos, pero só unha ducia. Escolle a que máis che guste. Escolleches? Agora proba convencemepor que este. Quizais non te coñeces? Ou quizais sabes?

Exercicio 4. Mira agora o meu crebacabezas número 2. Ves cadrados nel? Exactamente - é vermello por dentro. Fanse máis grandes. O primeiro, minúsculo, á esquerda ten un ollo, un "botón".

Vou responder de inmediato. Un cadrado máxico é un cadrado no que a suma dos números horizontal, vertical e diagonal é a mesma. Comprobamos: probablemente dirías que o segundo é o dobre porque ten dous botóns a cada lado... Ah, é o dobre de grande? Conta cantos botóns ten Catro! A ver que pasará despois. O terceiro ancho e tres lazos de altura. Conta as costuras. Cantos hai? 25. O cuarto catro é un catro longos e anchos (ou altos). Catro por catro son dezaseis. Si, ten dezaseis puntos. E o quinto? Hai cinco puntos a cada lado, entón cantos hai en total? Bravo, 25. Dicimos que esta praza ten unha superficie de XNUMX. Pero probablemente o sabías. Entón, como se mostra na táboa da dereita.

4+9+2=3+5+7=8+1+6=4+3+8=9+5+1=2+7+6= 4+5+6=8+5+2=15.

A Wikipedia escribe con razón que os cadrados máxicos son inútiles na ciencia. Só son interesantes. Pero as formas en que se constrúen son máis interesantes que as propias prazas. É como no turismo: moitas veces o obxectivo é secundario, o camiño é importante. Vexamos como construír un cadrado de vinte e cinco metros cadrados. Poñemos o do medio e lembramos o xa esquecido “xogo real”, é dicir, o xadrez. Saltaremos directo ao NNE (Norte-Nordeste). Xa a "troika" cae da praza. Levámolo ao seu sitio (o último da segunda fila dende abaixo). Lémbrame á "redución á primeira oitava" musical. Aplicamos este principio coherentemente... o maior tempo posible. Queda atrapado ás seis. Dá igual, o seis poñémolo debaixo do cinco vermello, que xa está dentro da nosa praza.

2. Por que este cadrado é "máxico"?

Volta ás matemáticas para nenos. Agora mira a parte superior do meu crebacabezas número 2. Hai algún cadrado alí? Non! Como se chaman estas figuras? Beata, como estás? Tes razón, rectángulos. Por que se chaman así? Porque teñen ángulos rectos? Disto falaremos un pouco máis tarde, pero de momento imos lembrar o que é un ángulo recto. Bartek, como lle explicarías isto a alguén que non o sabe? Quizais sexa un ángulo tan uniforme. Ben, que sexa. Se estamos conducindo un coche e xirando en ángulo recto, entón nin demasiado para adiante nin demasiado atrás, senón exactamente cara ao lado. Selina, érguese e dá a volta en ángulo recto. Esquerda ou dereita? como queiras.

Falemos tamén das formas anteriores, é dicir, dos rectángulos. Cal é gordo, delgado, esvelto, alto, baixo, menos oblongo, máis oblongo? Seguramente coincidirás en que o amarelo da dereita é longo, delgado e alto. Pero teña coidado. Se se deita de lado, tamén será longo, pero curto. Chamaríaslle "gordo"?

3. Comeza a construír un cadrado máxico de 5 por 5.

4. Como construír un cadrado máxico de 5x5?

Agora de novo dúas insercións para lectores maiores. O primeiro é 100. Creo que 100 é cen en calquera lingua eslava. Isto é importante para os lingüistas. O nome deste número distingue dous grupos de linguas indoeuropeas, que inclúen todas as linguas do noso continente, excepto o finés, o húngaro, o vasco estoniano e o bretón pouco coñecido.

Nas linguas que se desenvolveron na primeira onda migratoria, a palabra 100 converteuse en (grego) e (latín), dos que orixinaron o francés e o alemán (e, por suposto, o inglés). Por iso chamamos a estas linguas centums.

A nosa lingua pertence ao grupo das linguas centrais ou satémicas, porque despois da palatalización (ablandización) a protolingua tomou esta fermosa e curta forma de cen. Cen anos, cen anos, longa vida...

5. Para coñecedores. Cadrado máxico formado por números primos.

A segunda inserción é máis longa, pero está perfectamente no punto.

Matemático e

Punteiro BMI preguntei por necesidade. Permíteme lembrar que este é un indicador que compara e avalía o cumprimento do peso dun paciente adulto cunha norma teoricamente establecida. A fórmula matemática é sinxela: Divide o teu peso (en quilogramos) polo cadrado da túa estatura (en metros). Suponse que o límite de sobrepeso é un cociente de 25. Nesta escala, o recoñecido tenista español Rafael Nadal ten case sobrepeso (185 cm, 85 kg), o que dá un IMC de 24,85. Delgado como un chip, o seu rival serbio Novak Djokovic ten 21,79 e encaixa facilmente nos límites normais de peso. O autor destas palabras... Non vou dicir o alto que é esta cifra. Non obstante, como límite inferior do peso correcto para min (180 cm), este é ... 61 kg. Un tipo de 180 quilos cun peso de 61 kg seguramente caería con calquera refacho de vento. Creo que aínda que o principio do indicador en si é correcto, esta configuración de parámetros probablemente foi imposta polas compañías farmacéuticas (pílulas dietéticas).

Os propios médicos son conscientes de que este indicador non ten en conta as características persoais do paciente. Tamén engadirei un dato matemático. As persoas maiores están a perder peso. A súa columna colapso. Na miña mocidade, tiña 184 cm de alto, agora 180 cm. Se pesase 100 kg, entón "entón", é dicir, cunha altura de 184 cm, isto daría un indicador de 29,5 (grao de sobrepeso) e agora que cunha altura de 180 cm, será de 30,9 (sobrepeso de segundo grao). E aínda así, "eu" non se encolleu, só a columna vertebral torceuse.

Imos comprobar o índice de IMC para a "constancia dos indicadores". A cuestión é que non debería importar se os datos se dan no sistema métrico (quilogramos e metros) ou, por exemplo, en libras e pés ingleses. Por suposto, os números serán diferentes, así como os números que expresan a velocidade de movemento en millas e quilómetros. Pero un pode facilmente converter un no outro sen contradición. Velaquí unha digresión. As millas pódense converter facilmente en quilómetros. Pero cando lle preguntaron canto é o tamaño da neveira, o meu amigo canadense respondeu: "27 pés cúbicos". E sexa intelixente aquí. A situación é aínda peor cando se determina o consumo de combustible dun coche. Nos EE.UU. e Canadá cualifican como "Cantas millas por galón vou conducir?" Lector, quizais poidas xulgar (calcular) se 60 mpg son demasiado ou moi pouco? O outro galón estadounidense é diferente do galón canadense (tamén chamado imperial). É certo que as medidas métricas están en vigor en Canadá durante moitos anos, pero cambiar os hábitos non é tan sinxelo.

Pero co IMC todo está en orde. Dado que un pé inglés mide 30,48 cm e unha libra 0,454 kg, o resultado do IMC inglés (expresado en libras de peso por pé cadrado de altura) debe multiplicarse por 0,454 e 0,30482, o que equivale a 4,88. Unha persoa de 180 cm pesa 220,26 libras e 5,9 pés. Os dous métodos de cálculo do IMC son iguais, 30,9.

Agora o máis interesante (desde o punto de vista das matemáticas). Nun dos meus libros, describín o "índice de redondez": canto as formas redondeadas parecen un círculo. Canto - é dicir, matematicamente "canto por cento". A roda é, por suposto, 100 por cento redonda. E outros números? Como medilo?

Apliquemos esta idea para medir canto "semella" un rectángulo a un cadrado. Chamémoslle "medida de destrución". O cadrado debería estar 100% rachado, non? O matemático prefire dicir que a fenda dun cadrado é 1 e que a fenda dos rectángulos estreitos é, en consecuencia, menor.

Apliquemos algo como o índice de masa corporal aos rectángulos. Divide a área polo cadrado do perímetro. Canto custa un cadrado de lado a? É só 1/16 das contas. Para obter un índice de 1, multipliquemos por 16. Así, o índice de masa corporal dos rectángulos é

Agora imaxina que os rectángulos van ao médico. "Vou calcular o teu IMC", di o doutor. Por favor, un por un. Aquí tes os teus resultados. Cal perder peso?

6. Que rectángulo é para adelgazar, e cal é anoréxico? Calcúlaos

Declaración. O IMC trata ás persoas como criaturas planas! Este indicador funciona ben (sen ter en conta a configuración dos niveis límite). Porén, os matemáticos son escépticos. É demasiado sinxelo para ser xenérico. As fórmulas matemáticas demasiado sinxelas para describir fenómenos biolóxicos e sociais deben tratarse con moita cautela.

Volvemos a falar cos nenos máis pequenos. Vexamos outra vez o crebacabezas número 2. Coincidimos, queridos nenos, en que é certo que un rectángulo só ten ángulos rectos. Sería estraño que fose doutro xeito. Pero as figuras de abaixo (a pirámide azul), o "torcer" morado e o molinete azul tamén teñen só ángulos rectos. Quizais sexan rectangulares? Non, a xente estaba de acordo en que os rectángulos son só os que teñen catro ángulos rectos, non máis.

Aprende a pensar ben. Mirar:

Se algo é un rectángulo, entón só ten ángulos rectos. Isto non é o mesmo que:

Se algo só ten ángulos rectos, é un rectángulo.

Por que? En lugar dun rectángulo, colle un gato e un can, en lugar de ángulos rectos, colle as patas. Entendes agora? Definitivamente!

Comentario para adultos (e non só). Na miña mocidade había un slogan: Pensar ten un futuro colosal! Gustaríame que fose hai tanto tempo.

Entender. Pregunta importante. Un cadrado é un rectángulo? Ahí está! Ten catro ángulos rectos! Podemos dicir que un cadrado é o rectángulo máis par. Cada lado ten a mesma lonxitude.

Seguiremos facendo fermosos crebacabezas. Sabes exactamente o que é un número par. Se a clase está en parellas, entón alguén quedará sen parella ou... non quedará. O 12 é un número par? Si. Cando doce persoas queren xogar ao voleibol, é fácil formar dous equipos. Dúas veces seis son doce. E se as mesmas persoas queren xogar ao ping-pong, poden formar seis parellas. Seis veces dous tamén son doce.

Que teñen en común: un partido, unha voda, un duelo, un espello e unha moeda? Número dous. Nun partido cásanse dous equipos, un home e unha muller (si, un home e unha muller: el cásase, ela cásase). Dous opoñentes pelexan nun duelo, no espello vemos un "" eu un pouco diferente. A medalla ten dúas caras. Como se chaman? Cabezas ou rabos. Temos unha aguia nas moedas polacas. Coñeces alguén que teña un irmán xemelgo ou unha irmá? Hai moito tempo, nas aldeas usábanse "xemelgos": dous vasos conectados, un para a sopa, o outro para ... un segundo prato.

Ou quizais entendes as palabras: dobre, simetría, inversión, dualidade, oposto, xemelgos, dúo, tándem, alternativa, negativo, negación?

Se unha habitación ten dúas saídas (ou entrada e saída, o que prefira), dicimos que ten "dúas portas"? Non, dalgún xeito non está ben. Como é certo? Por que o dicimos? E se lle engadimos outra entrada a unha habitación de dúas portas e poñemos alí unha porta, cantas portas haberá? Tres? Ai non….

A "dianteira" vai da man da "traseira". Onde hai "esquerda", tamén hai "dereita", se algo non está "arriba", entón pode estar "abaixo". Se non houbese un plus, o menos non sería necesario. O número dous é xenial.

Cantan: "Dous cans..." Coñeces a melodía? Se non, aprende.

Cantos bloques hai no seguinte puzzle? Non sei, nin sequera contaremos. Quero dicir que sen contar, sei que hai un número par. Por que? Kasper, como sei isto? Ah, xa o sabes? Como dis? Que todos son iguais? Polo mesmo!

Sen problemas. A unha parella. Non che molesta que o rosa da esquerda sexa máis escuro que o da dereita?

Que nin sequera está aí. Lembro que de neno xogaba ao fútbol, ​​sempre había un problema se éramos sete, nove, once, trece... Era imposible dividirnos en dous equipos iguais. A solución foi que xogamos por un gol. O porteiro non pertencía a ningún dos equipos. Tiña que defenderse de cada golpe.

Un reto... non só para adultos. Pon exemplos de vehículos que teñen un número impar de rodas (non contamos a roda de reposto do coche). Un día notei que podía ser... un teleférico a Kasprowy Wierch: un coche rodaba polo cable sobre sete rodas. Pero agora non sei como é.

Cantos bloques hai no cuarto puzzle? Hai un número par ou impar? Petrek, isto é para ti! Como o resolverás? Queres contar e despois saberás? Ben, estás equivocado neste cálculo? A ver se non importa.

Nos tempos antigos, os números impares eran considerados os mellores. Hoxe preferimos a paridade. Sabías que se lle regalamos flores a alguén, debe haber un número impar delas? Por suposto, isto non se aplica aos ramos xigantes.

Un reto concebible... quizais non só para adultos. Quen é digno de palabras de agradecemento, flores e respecto de todos nós (e non teñamos medo disto - unha sólida recompensa!) Por un traballo desinteresado, esgotador, longo, duro e arriscado para non enfermar, e se enfermámonos, recuperámonos canto antes?