ASÍ A QUEN, é dicir: PROBE ONDE PODES - parte 2

No episodio anterior tratamos o Sudoku, un xogo aritmético no que basicamente os números están dispostos en varios diagramas segundo determinadas regras. A variante máis común é un taboleiro de xadrez 9×9, dividido ademais en nove celas 3×3. Os números do 1 ao 9 deben colocarse nel para que non se repitan nin en fila vertical (os matemáticos din: en columna) nin en fila horizontal (os matemáticos din: en fila) - e, ademais, para que non se repiten. repita dentro de calquera cadrado máis pequeno.

Na fig. 1 vemos este crebacabezas nunha versión máis sinxela, que é un cadrado de 6 × 6 dividido en rectángulos de 2 × 3. Introducimos nel os números 1, 2, 3, 4, 5, 6, para que non se repitan verticalmente, nin tampouco. horizontalmente, nin en cada un dos hexágonos seleccionados.

Imos tentar mostrar no cadrado superior. Podes enchelo con números do 1 ao 6 segundo as regras establecidas para este xogo? É posible, pero ambiguo. Imos ver: debuxa un cadrado á esquerda ou un cadrado á dereita.

Podemos dicir que esta non é a base do crebacabezas. Normalmente asumimos que un crebacabezas ten unha solución. A tarefa de atopar diferentes bases para o "gran" Sudoku, 9x9, é unha tarefa difícil e non hai posibilidades de resolvelo completamente.

Outra conexión importante é o sistema contraditorio. O cadrado medio inferior (o que ten o número 2 na esquina inferior dereita) non se pode completar. Por que?

Diversión e Retiros

Seguimos xogando. Usemos a intuición infantil. Cren que o entretemento é unha introdución á aprendizaxe. Imos ao espazo. acendido fig. 2 todos ven a grella tetraedrode pelotas, por exemplo, pelotas de ping-pong? Lembrar as clases de xeometría da escola. As cores do lado esquerdo da imaxe explican a que se pega ao montar o bloque. En particular, tres bolas de esquina (vermellas) pegaranse nunha soa. Polo tanto, deben ser o mesmo número. Quizais 9. Por que? E por que non?

Oh, eu non o formulei tarefas. Soa algo así: é posible inscribir os números do 0 ao 9 na cuadrícula visible para que cada cara conteña todos os números? A tarefa non é difícil, pero canto cómpre imaxinar! Non vou estropear o pracer dos lectores e non darei solución.

Esta é unha forma moi fermosa e subestimada. octaedro regular, construído a partir de dúas pirámides (=pirámides) de base cadrada. Como o nome indica, o octaedro ten oito caras.

Hai seis vértices nun octaedro. Contradí cuboque ten seis caras e oito vértices. Os bordos dos dous grumos son iguais: doce cada un. Isto sólidos dobres - isto significa que ao conectar os centros das caras do cubo obtemos un octaedro, e os centros das caras do octaedro daranos un cubo. Estes dous golpes funcionan ("porque teñen que") Fórmula de Euler: A suma do número de vértices e do número de caras é 2 máis que o número de arestas.

3. Un octaedro regular en proxección paralela e un enreixado octaedro composto por esferas de forma que cada aresta teña catro esferas.

1 traballo. En primeiro lugar, escribe a última oración do parágrafo anterior utilizando unha fórmula matemática. No fig. 3 vese unha cuadrícula octaédrica, tamén formada por esferas. Cada bordo ten catro bólas. Cada cara é un triángulo de dez esferas. O problema establécese de forma independente: é posible poñer números do 0 ao 9 nos círculos da cuadrícula de xeito que despois de pegar un corpo sólido, cada parede conteña todos os números (segúnselle sen repetición). Como antes, a maior dificultade nesta tarefa é como se transforma a malla nun corpo sólido. Non o podo explicar por escrito, así que tampouco aquí dou a solución.

4. Dous icosaedros de pelotas de ping-pong. Observe o esquema de cores diferente.

xa Platón (e viviu nos séculos V-IV a.C.) coñecía todos os poliedros regulares: tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro i icosaedro. É incrible como chegou alí: sen lapis, sen papel, sen bolígrafo, sen libros, sen teléfono intelixente, sen internet! Non vou falar aquí do dodecaedro. Pero o sudoku icosaédrico é interesante. Vemos este bulto ilustración 4e a súa rede fig. 5.

5. Malla regular do icosaedro.

Como antes, esta non é unha cuadrícula no sentido no que recordamos (?!) da escola, senón unha forma de pegar triángulos a partir de bólas (bolas).

2 traballo. Cantas bólas se necesitan para construír un icosaedro así? Segue sendo certo o seguinte razoamento: dado que cada cara é un triángulo, se deben haber 20 caras, son necesarias ata 60 esferas?

6. Reixa dun icosaedro a partir de esferas. Cada círculo é, por exemplo, unha pelota de ping-pong, pero a construción de círculos sobre círculos marcados coa mesma cor fúndese nun só. Polo tanto, temos doce esferas (= doce vértices: vermello, azul, violeta, azul e oito amarelos).

É fácil ver que tres números do icosaedro non son suficientes. Máis precisamente: é imposible enumerar os vértices cos números 1, 2, 3 para que cada cara (triangular) teña estes tres números e non haxa repeticións. É posible con catro números? Si é posible! Vexamos Arroz. 6 e 7.

7. Velaquí como numerar as esferas que forman o icosaedro para que cada cara conteña números distintos do 1, 2, 3, 4. Cal dos corpos da fig. 4 ten unha cor así?

3 traballo. Tres dos catro números pódense escoller de catro xeitos: 123, 124, 134, 234. Busca cinco triángulos deste tipo no icosaedro da fig. 7 (así como de ilustracións 4).

Tarefa 4 (require moi boa imaxinación espacial). O icosaedro ten doce vértices, o que significa que se pode pegar a partir de doce bolas (fig. 7). Teña en conta que hai tres vértices (=bolas) etiquetados con 1, tres con 2, etc. Así, as bólas da mesma cor forman un triángulo. Que é este triángulo? Quizais equilátero? Mira de novo ilustracións 4.

A seguinte tarefa para o avó / avoa e o neto / neta. Os pais tamén poden probar a súa man, pero necesitan paciencia e tempo.

5 traballo. Compre doce (preferiblemente 24) pelotas de ping-pong, unhas catro cores de pintura, un pincel e o pegamento adecuado; non recomendo as rápidas como Superglue ou Droplet porque secan demasiado rápido e son perigosas para os nenos. Pegamento no icosaedro. Viste á túa neta cunha camiseta que será lavada (ou tirada) inmediatamente despois. Cubra a mesa con papel aluminio (preferentemente con xornais). Colorea coidadosamente o icosaedro con catro cores 1, 2, 3, 4, como se mostra na fig. fig. 7. Podes cambiar a orde: primeiro colorea os globos e despois pégalos. Ao mesmo tempo, hai que deixar pequenos círculos sen pintar para que a pintura non se pegue á pintura.

Agora a tarefa máis difícil (máis precisamente, toda a súa secuencia).

Tarefa 6 (Máis concretamente, o tema xeral). Representa o icosaedro como un tetraedro e un octaedro Arroz. 2 e 3 Isto significa que debe haber catro bólas en cada bordo. Nesta variante, a tarefa leva moito tempo e mesmo custosa. Imos comezar por descubrir cantas bólas necesitas. Cada cara ten dez esferas, polo que o icosaedro necesita duascentas? Non! Hai que lembrar que se comparten moitas pelotas. Cantas arestas ten un icosaedro? Pódese calcular minuciosamente, pero para que serve a fórmula de Euler?

w–k+s=2

onde w, k, s son o número de vértices, arestas e caras, respectivamente. Lembramos que w = 12, s = 20, o que significa k = 30. Temos 30 arestas do icosaedro. Podes facelo doutro xeito, porque se hai 20 triángulos, entón só teñen 60 bordos, pero dous deles son comúns.

Imos calcular cantas bólas necesitas. En cada triángulo só hai unha bóla interna, nin na parte superior do noso corpo nin no bordo. Así, temos un total de 20 bolas deste tipo. Hai 12 picos. Cada bordo ten dúas bólas sen vértice (están dentro do bordo, pero non dentro da cara). Dado que hai 30 canicas, hai 60 canicas, pero dúas delas son compartidas, o que significa que só necesitas 30 canicas, polo que necesitas un total de 20 + 12 + 30 = 62 canicas. As bólas pódense mercar por polo menos 50 centavos (normalmente máis caros). Se lle engades o custo do pegamento, sairá... moito. Un bo vínculo require varias horas de traballo minucioso. Xuntos son axeitados para un pasatempo relaxante: recoméndoos en lugar de, por exemplo, ver a televisión.

Retiro 1. Na serie cinematográfica de Andrzej Wajda Years, Days, dous homes xogan ao xadrez "porque teñen que pasar dalgunha maneira o tempo ata a cea". Ten lugar en Cracovia galega. Efectivamente: xa se leron xornais (daquela tiñan 4 páxinas), aínda non se inventaron a televisión e o teléfono, non hai partidos de fútbol. Aburrimento nas pozas. En tal situación, a xente inventou entretemento para si mesma. Hoxe témolos despois de premer o mando a distancia...

Retiro 2. Na reunión de 2019 da Asociación de Profesores de Matemáticas, un profesor español demostrou un programa informático que pode pintar paredes sólidas de calquera cor. Foi un pouco arrepiante, porque só debuxaban as mans, case cortaban o corpo. Pensei para min: canto se pode gozar de tal "sombreado"? Todo leva dous minutos, e para o cuarto non lembramos nada. Mentres tanto, o "traballo de agulla" anticuado calma e educa. Quen non crea, que o intente.

Volvamos ao século XNUMX e ás nosas realidades. Se non queremos relaxación en forma de pegado laborioso de bólas, debuxaremos polo menos unha reixa dun icosaedro, cuxos bordos teñen catro bólas. Como facelo? Corta ben fig. 6. O lector atento xa adiviña o problema:

7 traballo. É posible enumerar as bólas con números do 0 ao 9 para que todos estes números aparezan en cada cara de tal icosaedro?

Por que nos pagan?

Hoxe adoitamos facernos a pregunta sobre o propósito das nosas actividades, e o "contribuente gris" preguntarase por que debería pagar aos matemáticos para resolver tales enigmas?

A resposta é bastante sinxela. Tales "crebacabezas", interesantes en si mesmos, son "un fragmento de algo máis serio". Despois de todo, os desfiles militares son só unha parte exterior e espectacular dun servizo difícil. Poñerei só un exemplo, pero comezarei cunha materia matemática estraña pero recoñecida internacionalmente. En 1852, un estudante inglés preguntoulle ao seu profesor se era posible colorear un mapa con catro cores para que os países veciños se mostrasen sempre en cores diferentes? Permítanme engadir que non consideramos "veciños" os que se reúnen só nun punto, como os estados de Wyoming e Utah nos EE.UU. O profesor non o sabía... e o problema levaba máis de cen anos agardando por unha solución.

8. Icosaedro dos bloques RECO. Os reflectores de flash mostran o que ten en común o icosaedro co triángulo e o pentágono. Cinco triángulos converxen en cada vértice.

Ocorreu dun xeito inesperado. En 1976, un grupo de matemáticos estadounidenses escribiu un programa para resolver este problema (e decidiron: si, catro cores sempre serán suficientes). Esta foi a primeira proba dun feito matemático obtida coa axuda dunha "máquina matemática" -como se chamaba hai medio século a un ordenador (e aínda antes: "cerebro electrónico").

Aquí tes un "mapa de Europa" especialmente mostrado (fig. 9). Aqueles países que teñen unha fronteira común están conectados. Colorear o mapa é o mesmo que colorear os círculos deste gráfico (chamado gráfico) para que ningún círculo conectado teña a mesma cor. Unha ollada a Liechtenstein, Bélxica, Francia e Alemaña demostra que tres cores non son suficientes. Se queres, lector, colorea con catro cores.

9. Quen limita con quen en Europa?

Pois si, pero valen os cartos dos contribuíntes? Entón, vexamos o mesmo gráfico de forma un pouco diferente. Esquece que hai estados e fronteiras. Deixamos que os círculos simbolicen paquetes de información a enviar dun punto a outro (por exemplo, de P a EST), e os segmentos representen posibles conexións, cada unha das cales ten o seu propio ancho de banda. Enviar canto antes?

En primeiro lugar, vexamos unha situación moi simplificada, pero tamén moi interesante dende o punto de vista matemático. Temos que enviar algo desde o punto S (= como inicio) ata o punto M (= final) usando unha rede de conexión co mesmo ancho de banda, digamos 1. Vemos isto en fig. 10.

10. Rede de conexións de Statsyika Zdrój a Megapolis.

Imaxinemos que hai que enviar uns 89 bits de información de S a M. Ao autor destas palabras gústanlle os problemas dos trens, polo que imaxina que é xestor de Stacie Zdrój, desde onde ten que enviar 144 vagóns. á estación metropolitana. Por que exactamente 144? Porque, como veremos, isto servirá para calcular o rendemento de toda a rede. A capacidade é de 1 en cada lote, é dicir. pode pasar un coche por unidade de tempo (un bit de información, posiblemente tamén Gigabyte).

Asegurémonos de que todos os coches se atopen ao mesmo tempo en M. Todos chegan alí en 89 unidades de tempo. Se teño un paquete de información moi importante de S a M para enviar, divídoo en grupos de 144 unidades e empúxoo como se indica arriba. As matemáticas garanten que este será o máis rápido. Como souben que necesitas 89? De feito o adiviñei, pero se non o adiviñei, tería que descifralo Ecuacións de Kirchhoff (alguén lembra? - Son ecuacións que describen o fluxo da corrente). O ancho de banda da rede é 184/89, que é aproximadamente igual a 1,62.

Sobre a alegría

Por certo, gústame o número 144. Gústame ir no autobús con este número ata a Praza do Castelo de Varsovia, cando non había un Castelo Real restaurado ao seu carón. Quizais os lectores novos saiban o que son unha ducia. Son 12 exemplares, pero só os lectores maiores lembran que unha ducia, é dicir. 122=144, este é o chamado lote. E todos os que saben matemáticas un pouco máis que o currículo escolar entenderano inmediatamente fig. 10 temos números de Fibonacci e que o ancho de banda da rede está preto do "número de ouro"

Na sucesión de Fibonacci, 144 é o único número que é un cadrado perfecto. Cento corenta e catro é tamén un "número alegre". Así é como un matemático afeccionado indio Dattatreya Ramachandra Caprecar en 1955, nomeou os números que son divisibles pola suma dos seus díxitos constituíntes:

Se o soubese Adam Mickiewicz, certamente tería escrito non en Dzyady: “Dunha nai estraña; o seu sangue son os seus vellos heroes / E o seu nome é corenta e catro, só máis elegante: E o seu nome é cento corenta e catro.

Toma o entretemento en serio

Espero convencer aos lectores de que os crebacabezas de Sudoku son o lado divertido das preguntas que certamente merecen ser tomadas en serio. Non podo desenvolver este tema máis. Oh, cálculo completo do ancho de banda da rede a partir do diagrama proporcionado fig. 9 escribir un sistema de ecuacións levaría dúas ou máis horas, quizais ata decenas de segundos (!) de traballo informático.