Cadrados de cores e eclipses solares

O artigo describe as miñas clases para estudantes de ensino medio - bolseiros do Fondo Nacional para a Infancia. A fundación busca nenos e mozos especialmente dotados (desde o XNUMXº de primaria ata o bacharelato) e ofrece "bolsas" aos estudantes seleccionados. Non obstante, non consisten en absoluto na retirada de efectivo, senón na atención integral para o desenvolvemento do talento, por regra xeral, durante moitos anos. A diferenza de moitos outros proxectos deste tipo, coñecidos científicos, persoeiros da cultura, destacados humanistas e outros sabios, así como algúns políticos, toman en serio os pupilos da Fundación.

As actividades da Fundación esténdense a todas as disciplinas que sexan materias escolares básicas, agás as deportivas, incluída a arte. O fondo creouse en 1983 como antídoto á realidade daquela. Calquera persoa pode solicitar o fondo (normalmente a través dunha escola, preferiblemente antes de que remate o curso escolar), pero, por suposto, hai unha determinada peneira, un determinado procedemento de cualificación.

Como xa comentei, o artigo está baseado nas miñas clases maxistrais, concretamente en Gdynia, en marzo de 2016, no bacharelato 24 do III instituto. Mariña. Durante moitos anos, estes seminarios están organizados baixo os auspicios da Fundación por Wojciech Thomalczyk, un profesor de extraordinario carisma e alto nivel intelectual. En 2008, entrou no top ten de Polonia, que recibiron o título de profesor de pedagoxía (disposto pola lei hai moitos anos). Hai unha lixeira esaxeración na afirmación: "A educación é o eixo do mundo".

e a lúa son sempre fascinantes; entón podes sentir que vivimos nun planeta pequeno nun espazo enorme, onde todo está en movemento, medido en centímetros e segundos. Mesmo dáme un pouco de medo, tamén a perspectiva temporal. Aprendemos que a próxima eclipse total, visible desde a zona da actual Varsovia, será en ... 2681. Pregúntome quen o verá? Os tamaños aparentes do Sol e da Lúa no noso ceo son case os mesmos; por iso as eclipses son tan curtas e tan espectaculares. Durante séculos, eses curtos minutos deberían ser suficientes para que os astrónomos vexan a coroa solar. É estraño que sucedan dúas veces ao ano... pero iso só significa que nalgún lugar da Terra se poden ver durante un curto período de tempo. Como resultado dos movementos das mareas, a Lúa está a afastarse da Terra -en 260 millóns de anos estará tan lonxe que nós (nós???) só veremos eclipses anulares.

Ao parecer, o primeiro en predicir eclipse, foi Tales de Mileto (séculos 28-585 a.C.). Probablemente non saberemos se realmente aconteceu, é dicir, se o predixo, porque o feito de que a eclipse en Asia Menor ocorrese en maio do 567 do 566 a.C. é un feito confirmado polos cálculos modernos. Por suposto, cito datos para a conta do tempo de hoxe. Cando era neno, imaxinaba como a xente contaba os anos. Entón, isto é, por exemplo, o XNUMX a.C., a véspera de Ano Novo está chegando e a xente está de alegría: só XNUMX anos a.C.! Que felices debían estar cando por fin chegou "a nosa era"! Que cambio de milenios vivimos hai uns anos!

Matemáticas para calcular datas e intervalos eclipses, non é especialmente complicado, pero está ateigado de todo tipo de factores asociados á regularidade e, aínda peor, ao movemento desigual do corpo nas órbitas. Ata me gustaría saber estas matemáticas. Como puido Tales de Mileto facer os cálculos necesarios? A resposta é sinxela. Debes ter un mapa do ceo. Como facer un mapa así? Isto tampouco é difícil, os antigos exipcios sabían como facelo. Á media noite, dous sacerdotes saen ao tellado do templo. Cada un deles senta e debuxa o que ve (como o seu colega). Despois de dous mil anos, sabemos todo sobre o movemento dos planetas...

Xeometría bonita ou diversión na "alfombra"

Aos gregos non lles gustaban os números, recorríanse á xeometría. Isto é o que faremos. O noso eclipse serán sinxelos, coloridos, pero igual de interesantes e reais. Aceptamos a convención de que a figura azul se move de tal xeito que eclipsa a vermella. Chamemos á figura azul lúa e á figura vermella sol. Facémonos as seguintes preguntas:

1. canto dura unha eclipse;
2. cando se cobre a metade do obxectivo;

   Arroz. 1 "Alfombra" multicolor co sol e a lúa

3. cal é a cobertura máxima;
4. é posible analizar a dependencia da cobertura do escudo a tempo? Neste artigo (estou limitado pola cantidade de texto) centrareime na segunda pregunta. Detrás disto hai unha xeometría bonita, quizais sen cálculos aburridos. Vexamos a fig. 1. Pódese supoñer que estará asociado a... unha eclipse solar?

Sinceramente, debo dicir que as tarefas que comentarei serán especialmente seleccionadas, adaptadas aos coñecementos e habilidades do alumnado de secundaria e bacharelato. Pero adestramos en tarefas como os músicos tocan escalas e os atletas fan exercicios xerais de desenvolvemento. Ademais, non é só unha fermosa alfombra (fig. 1)?

Arroz. 2 Lúa "azul" e Sol "vermello".

Os nosos corpos celestes, polo menos inicialmente, serán cadrados de cores. A lúa é azul, o sol é vermello (o mellor para colorear). co presente eclipse A lúa persegue o sol polo ceo, colle... e péchao. Pasará o mesmo con nós. O caso máis sinxelo, cando a Lúa se move en relación co Sol, como se mostra na Fig. 2. Unha eclipse comeza cando o bordo do disco da Lúa toca o bordo do disco do Sol (fig. 2) e remata cando vai máis alá del.

Arroz. 3 A lúa achégase ao sol en diagonal

Supoñemos que a "Lúa" move unha cela por unidade de tempo, por exemplo, por minuto. A eclipse dura entón oito unidades de tempo, digamos minutos. A metade eclipses solares completamente atenuado A metade do dial péchase dúas veces: despois de 2 e 6 minutos. O gráfico de oscurecemento porcentual é sinxelo. Durante os dous primeiros minutos, o escudo pecha uniformemente a unha velocidade de cero a 1, os dous minutos seguintes exponse ao mesmo ritmo.

Velaquí un exemplo máis interesante (Fig. 3). A lúa achégase ao sol en diagonal. Segundo o noso acordo de pago por minuto, a eclipse dura 8√2 minutos - no medio deste tempo temos unha eclipse total. Calculemos que parte do sol está cuberta despois do tempo t (Fig. 3). Se pasaron t minutos desde o inicio da eclipse e, como resultado, a Lúa é como se mostra na Fig. 5, entón (¡atención!) Polo tanto, está cuberto (a área do cadrado APQR), igual á metade do disco solar; polo tanto, cubriuse cando, i.e. despois de 4 minutos (logo 4 minutos antes do final da eclipse).

Arroz. 4 Gráfico da función "sombreado".

Totalidade dura un momento (t = 4√2), e a gráfica da función "parte sombreada" consta de dous arcos de parábolas (Fig. 4).

A nosa lúa azul tocará a esquina co sol vermello, pero cubrirao, non indo en diagonal, senón lixeiramente en diagonal.Aparece unha xeometría interesante cando complicamos un pouco o movemento (Fig. 6). A dirección do movemento agora é vector [4,3], é dicir, "catro celas á dereita, tres celas arriba". A posición do Sol é tal que a eclipse comeza (posición A) cando os lados dos "corpos celestes" converxen a un cuarto da súa lonxitude. Cando a Lúa se move á posición B, eclipsará unha sexta parte do Sol, e na posición C eclipsará a metade. Na posición D, temos unha eclipse total, e despois todo volve, "como estaba".

Arroz. 5 Parte do Sol oculta durante o tempo t

A eclipse remata cando a Lúa está na posición G. Durou tanto como lonxitude da sección AG. Se, como antes, tomamos como unidade de tempo o tempo durante o que a Lúa pasa "un cadrado", entón a lonxitude do AG é igual. Se volvemos á antiga convención de que os nosos corpos celestes son 4 por 4, o resultado sería diferente (que?). Como é fácil de mostrar, o obxectivo péchase despois de t < 15. O gráfico da función "porcentaxe de cobertura da pantalla" pódese ver na fig. 6.

Arroz. 6 Gráfico da función "porcentaxe de protección".

Ecuación de eclipse e salto

Arroz. 7 Obstrución do disco solar durante a eclipse mostrada na fig. 6

O problema das eclipses estaría incompleto se non consideramos o caso dos círculos. Isto é moito máis complicado, pero imos tentar descubrir cando un círculo eclipsa a metade do outro e, no caso máis sinxelo, cando un deles se move ao longo do diámetro que os conecta a ambos. O debuxo é familiar para os posuidores dalgunha tarxeta de crédito.

Calcular a posición dos campos é complicado, xa que require, en primeiro lugar, o coñecemento da fórmula para a área dun segmento circular, en segundo lugar, o coñecemento do arco do ángulo e, en terceiro lugar (e o peor de todo), a habilidade para resolver unha determinada ecuación de salto. Non vou explicar o que é unha “ecuación transitiva”, vexamos un exemplo (Fig. 8).

Arroz. 8 Eclipse "esférica".

Unha sección circular é a "conca" que queda despois de cortar un círculo cunha liña recta. A área de tal segmento é S = 1/2r²(φ-sinφ), onde r é o raio do círculo e φ é o ángulo central no que se apoia o segmento (fig. 8). Isto obtense facilmente restando a área do triángulo da área do sector circular.

Episodio O₁O₂ (a distancia entre os centros dos círculos) é entón igual a 2rcosφ/2, e a altura (ancho, “cintura”) h = 2rsinφ/2. Entón, se queremos calcular cando a Lúa cubrirá a metade do disco solar, cómpre resolver a ecuación: que, despois da simplificación, pasa a ser:

Arroz. 9 Gráficas de dúas funcións

A solución de tales ecuacións vai máis aló da álxebra simple: a ecuación contén ambos ángulos e as súas funcións trigonométricas. A ecuación está fóra do alcance dos métodos tradicionais. Por iso se chama saltar. Vexamos primeiro as gráficas de ambas as funcións, é dicir, funcións e funcións.Podemos ler unha solución aproximada desta figura. Non obstante, podemos obter unha aproximación iterativa ou... usar a opción Solver na folla de cálculo de Excel. Todo estudante de secundaria debería poder facelo, porque é o século XX. Usei unha ferramenta de Mathematica máis sofisticada e aquí está a nosa solución con 20 cifras decimais de precisión innecesaria:

SetPrecision[FindRoot[x==Sin[x]+Pi/2,{x,2}],20] {x⇒2.3098814600100574523}.

Arroz. 10 Animación de eclipse en matemática

Convertémolo en graos multiplicando por 180/π. Temos 132 graos, 20 minutos, 45 e cuarto de arco de segundo. Calculamos que a distancia ao centro do círculo é O₁O₂ = 0,808 de raio e "cintura" 2,310.