Camiños xeométricos e matogueiras

Mentres escribía este artigo lembreime dunha canción moi antiga de Jan Pietrzak, que cantaba antes da súa actividade satírica no cabaret Pod Egidą, recoñecido na República Popular de Polonia como válvula de seguridade; poderíase rir sinceramente dos paradoxos do sistema. Nesta canción, o autor recomendaba a participación política socialista, ridiculizando aos que queren ser apolíticos e apagar a radio no xornal. "É mellor volver á escola lendo", entón Petshak, de XNUMX anos, cantou irónicamente.

Volvo á escola lendo. Estou relendo (non é a primeira vez) o libro de Shchepan Yelensky (1881-1949) "Lylavati". Para poucos lectores, a propia palabra di algo. Este é o nome da filla do famoso matemático hindú coñecido como Bhaskara (1114-1185), chamado Akaria, ou do sabio que titulou o seu libro de álxebra con ese nome. Lilavati converteuse máis tarde nunha coñecida matemática e filósofa. Segundo outras fontes, foi ela quen escribiu ela mesma o libro.

Szczepan Yelensky deu o mesmo título ao seu libro sobre matemáticas (primeira edición, 1926). Incluso pode ser difícil chamarlle a este libro un traballo matemático: era máis un conxunto de crebacabezas e en gran parte reescrito a partir de fontes francesas (non existían os dereitos de autor no sentido moderno). En calquera caso, durante moitos anos foi o único libro popular polaco sobre matemáticas -máis tarde engadiuse o segundo libro de Jelensky, Os doces de Pitágoras. Así que os mozos interesados ​​nas matemáticas (que é exactamente o que eu era) non tiñan onde escoller...

en cambio, a "Lilavati" había que saber case de memoria... Ah, houbo momentos... A súa maior vantaxe era que eu era... un adolescente daquela. Hoxe, desde o punto de vista dun matemático ben educado, miro a Lilavati dun xeito completamente diferente, quizais como un alpinista nas curvas do camiño cara a Shpiglasova Pshelench. Nin uns nin os outros perden o seu encanto ... No seu estilo característico, Shchepan Yelensky, que profesa as chamadas ideas nacionais na súa vida persoal, escribe no prefacio:

Sen tocar a descrición das características nacionais, direi que aínda despois de noventa anos, as palabras de Yelensky sobre as matemáticas non perderon a súa relevancia. As matemáticas ensinan a pensar. É un feito. Podemos ensinarche a pensar de forma diferente, máis sinxela e máis fermosa? Pode ser. É só que... aínda non podemos. Explícolles aos meus alumnos que non queren facer matemáticas que isto tamén é unha proba da súa intelixencia. Se non podes aprender unha teoría matemática realmente sinxela, entón... quizais as túas habilidades mentais sexan peores do que nos gustaría os dous...?

Sinais na area

E aquí está a primeira historia en "Lylavati" - unha historia descrita polo filósofo francés Joseph de Maistre (1753-1821).

Un mariñeiro dun barco naufragado foi arroxado polas ondas a unha costa baleira, que consideraba deshabitada. De súpeto, na area da costa, viu un trazo dunha figura xeométrica debuxada diante de alguén. Foi entón cando se decatou de que a illa non está deserta!

Citando a Mestri, Yelensky escribe: figura xeométricatería sido unha expresión muda para o infortunado, náufrago, coincidencia, pero mostroulle dunha ollada proporción e número, e isto anunciaba un home ilustrado. Tanto para a historia.

Teña en conta que un mariñeiro provocará a mesma reacción, por exemplo, debuxando a letra K, ... e calquera outro rastro da presenza dunha persoa. Aquí a xeometría está idealizada.

Porén, a astrónoma Camille Flammarion (1847-1925) propuxo que as civilizacións se saúdan desde a distancia utilizando a xeometría. Viu nisto o único intento de comunicación correcto e posible. Mostrámoslles a tales marcianos os triángulos pitagóricos... eles responderánnos con Tales, nós responderémolos con patróns Vieta, o seu círculo encaixará nun triángulo, así comezou unha amizade...

Escritores como Jules Verne e Stanislav Lem volveron a esta idea. E en 1972 colocáronse tellas con patróns xeométricos (e non só) a bordo da sonda Pioneer, que aínda atravesa as extensións do espazo, agora a case 140 unidades astronómicas de nós (1 I é a distancia media da Terra á Terra) . Sol, é dicir, uns 149 millóns de km). A tella foi deseñada, en parte, polo astrónomo Frank Drake, creador da controvertida regra sobre o número de civilizacións extraterrestres.

A xeometría é incrible. Todos coñecemos o punto de vista xeral sobre a orixe desta ciencia. Nós (os humanos) acabamos de comezar a medir a terra (e máis tarde a terra) para os fins máis utilitarios. Determinar distancias, trazar liñas rectas, marcar ángulos rectos e calcular volumes converteuse aos poucos nunha necesidade. De aí todo o asunto xeometría ("Medida da terra"), de aí todas as matemáticas...

Porén, durante algún tempo esta clara imaxe da historia da ciencia enturbiunos. Porque se as matemáticas fosen necesarias unicamente para fins operativos, non nos dedicaríamos a demostrar teoremas sinxelos. "Ves que isto debería ser certo", diría un despois de comprobar que en varios triángulos rectángulos a suma dos cadrados das hipotenusas é igual ao cadrado da hipotenusa. Por que tal formalismo?

A torta de ameixa ten que estar deliciosa, o programa informático ten que funcionar, a máquina ten que funcionar. Se contei a capacidade do barril trinta veces e todo está en orde, entón por que senón?

Mentres tanto, aos antigos gregos ocorréuselles que había que atopar algunha evidencia formal.

Así, as matemáticas comezan con Tales (625-547 a.C.). Suponse que foi Mileto quen comezou a preguntarse por que. Non é suficiente para as persoas intelixentes que viran algo, que estean convencidos de algo. Viron a necesidade de probas, unha secuencia lóxica de argumentos dende a suposición ata a tese.

Tamén querían máis. Probablemente foi Tales o primeiro que intentou explicar os fenómenos físicos dun xeito naturalista, sen intervención divina. A filosofía europea comezou coa filosofía da natureza, co que xa está detrás da física (de aí o nome: metafísica). Pero as bases da ontoloxía europea e da filosofía natural foron postas polos pitagóricos (Pitágoras, c. 580-c. 500 a.C.).

Fundou a súa propia escola en Crotone, no sur da península dos Apeninos, hoxe chamariamos unha secta. A ciencia (no sentido actual da palabra), a mística, a relixión e a fantasía están intimamente entrelazadas. Thomas Mann presentou moi ben as leccións de matemáticas nun ximnasio alemán na novela Doutor Fausto. Traducido por Maria Kuretskaya e Witold Virpsha, este fragmento di:

No interesante libro de Charles van Doren, The History of Knowledge from the Dawn of History to the Present Day, atopei un punto de vista moi interesante. Nun dos capítulos o autor describe o significado da escola pitagórica. O propio título do capítulo chamoume a atención. Di: "Invención das matemáticas: os pitagóricos".

Moitas veces discutimos se se están descubrindo teorías matemáticas (p. ex., terras descoñecidas) ou se están inventando (p. ex. máquinas que non existían antes). Algúns matemáticos creativos vense como investigadores, outros como inventores ou deseñadores, con menos frecuencia contadores.

Pero o autor deste libro escribe sobre a invención das matemáticas en xeral.

Da esaxeración ao engano

Despois desta longa parte introdutoria, pasarei ao principio. xeometríapara describir como unha dependencia excesiva da xeometría pode enganar a un científico. Johannes Kepler é coñecido en física e astronomía como o descubridor das tres leis do movemento dos corpos celestes. En primeiro lugar, cada planeta do sistema solar móvese arredor do sol nunha órbita elíptica, co sol nun dos seus focos. En segundo lugar, a intervalos regulares o raio principal do planeta, extraído do Sol, debuxa campos iguais. En terceiro lugar, a relación entre o cadrado do período de revolución dun planeta ao redor do Sol e o cubo do semieixe maior da súa órbita (é dicir, a distancia media do Sol) é constante para todos os planetas do sistema solar.

Quizais esta fose a terceira lei: requiría moitos datos e cálculos para establecela, o que levou a Kepler a seguir buscando patróns no movemento e posición dos planetas. A historia do seu novo “descubrimento” é moi instrutiva. Desde a antigüidade, non só admiramos os poliedros regulares, senón tamén os argumentos que demostran que só hai cinco no espazo. Un poliedro tridimensional chámase regular se as súas caras son polígonos regulares idénticos e cada vértice ten o mesmo número de arestas. De xeito ilustrativo, cada esquina dun poliedro regular debería "ver o mesmo". O poliedro máis famoso é o cubo. Todo o mundo viu un nocello normal.

O tetraedro regular é menos coñecido, e na escola chámase pirámide triangular regular. Parece unha pirámide. Os tres poliedros regulares restantes son menos coñecidos. Un octaedro fórmase cando conectamos os centros das arestas dun cubo. O dodecaedro e o icosaedro xa parecen bólas. Feitas de coiro suave, serían cómodos de cavar. O razoamento de que non hai poliedros regulares que non sexan os cinco sólidos platónicos é moi bo. En primeiro lugar, decatámonos de que se o corpo é regular, entón o mesmo número (sexa q) de polígonos regulares idénticos debe converxer en cada vértice, sexan estes p-ángulos. Agora necesitamos lembrar cal é o ángulo nun polígono regular. Se alguén non se lembra da escola, lembrámosche como atopar o patrón correcto. Fixemos unha viaxe á volta da esquina. En cada vértice xiramos polo mesmo ángulo a. Cando damos a volta ao polígono e volvemos ao punto de partida, fixemos p tales xiros, e en total xiramos 360 graos.

Pero α é un complemento de 180 graos do ángulo que queremos calcular e, polo tanto, é

Atopamos a fórmula para o ángulo (un matemático diría: medidas dun ángulo) dun polígono regular. Comprobamos: no triángulo p = 3, non hai a

Como isto. Cando p = 4 (cadrado), entón

graos tamén está ben.

Que conseguimos por un pentágono? Entón, que ocorre cando hai q polígonos, cada p tendo os mesmos ángulos

 graos descendendo nun vértice? Se estivese nun plano, formaríase un ángulo

graos e non pode ser superior a 360 graos, porque entón os polígonos se solapan.

Non obstante, dado que estes polígonos se atopan no espazo, o ángulo debe ser menor que o ángulo completo.

E aquí está a desigualdade da que todo se desprende:

Divídeo por 180, multiplica as dúas partes por p, orde (p-2) (q-2) < 4. Que segue? Teñamos en conta que p e q deben ser números naturais e que p > 2 (por que? E que é p?) e tamén q > 2. Non hai moitas maneiras de facer que o produto de dous números naturais sexa menor que 4. listaraos todos na táboa 1.

Non publico debuxos, todo o mundo pode ver estas figuras en Internet... En Internet... Non vou rexeitar unha digresión lírica -quizais sexa interesante para os lectores novos. En 1970 falei nun seminario. O tema era difícil. Tiven pouco tempo para prepararme, sentaba polas noites. O artigo principal estaba de só lectura no seu lugar. O local era acolledor, con ambiente de traballo, bueno, pechaba ás sete. Entón, a propia noiva (agora a miña muller) ofreceuse a reescribir todo o artigo para min: preto dunha ducia de páxinas impresas. Copieino (non, non con pluma, ata tiñamos bolígrafos), a charla foi un éxito. Hoxe tentei buscar esta publicación, que xa é antiga. Lembro só o nome do autor... As procuras en Internet duraron moito... uns quince minutos completos. Penso niso cun sorriso e un pouco de pesar inxustificado.

Volvemos a Keplera e xeometría. Ao parecer, Platón predixo a existencia da quinta forma regular porque carecía de algo unificador, que abarcase todo o mundo. Quizais por iso mandou a un estudante (Theajtet) a buscala. Tal e como foi, así foi, sobre a base do cal se descubriu o dodecaedro. A esta actitude de Platón chamámoslle panteísmo. Todos os científicos, ata Newton, sucumbiron a el en maior ou menor medida. Dende o século XVIII, sumamente racional, a súa influencia diminuíu drasticamente, aínda que non debemos avergoñarnos de que todos sucumbimos a ela dun xeito ou doutro.

No concepto de Kepler de construír o sistema solar, todo era correcto, os datos experimentais coincidían coa teoría, a teoría era loxicamente coherente, moi bonita... pero completamente falsa. Na súa época, só se coñecían seis planetas: Mercurio, Venus, Terra, Marte, Xúpiter e Saturno. Por que só hai seis planetas? preguntou Kepler. E que regularidade determina a súa distancia ao Sol? Asumiu que todo estaba conectado, iso xeometría e cosmogonía están estreitamente relacionados entre si. Polos escritos dos antigos gregos, sabía que só había cinco poliedros regulares. Viu que había cinco ocos entre as seis órbitas. Entón, quizais cada un destes espazos libres corresponde a algún poliedro regular?

Despois de varios anos de observación e traballo teórico, creou a seguinte teoría, coa axuda da cal calculou con bastante precisión as dimensións das órbitas, que presentou no libro "Mysterium Cosmographicum", publicado en 1596: Imaxina unha esfera xigante, cuxo diámetro é o diámetro da órbita de Mercurio no seu movemento anual arredor do sol. Entón imaxina que nesta esfera hai un octaedro regular, nela unha esfera, nela un icosaedro, nela outra vez unha esfera, nela un dodecaedro, nela outra esfera, nela un tetraedro, despois outra vez unha esfera, un cubo. e, finalmente, neste cubo descríbese a bóla.

Kepler concluíu que os diámetros destas sucesivas esferas eran os diámetros das órbitas doutros planetas: Mercurio, Venus, Terra, Marte, Xúpiter e Saturno. A teoría parecía ser moi precisa. Desafortunadamente, isto coincidiu cos datos experimentais. E que mellor proba da corrección dunha teoría matemática que a súa correspondencia con datos experimentais ou observacionais, especialmente "tomados do ceo"? Resumo estes cálculos na táboa 2. Entón, que fixo Kepler? Probei e probei ata que funcionou, é dicir, cando a configuración (orde das esferas) e os cálculos resultantes coincidiron cos datos observacionais. Aquí están as figuras e cálculos modernos de Kepler:

Pódese sucumbir á fascinación da teoría e crer que as medicións no ceo son inexactas, e non os cálculos feitos no silencio dun taller. Desafortunadamente, hoxe sabemos que hai polo menos nove planetas e que todas as coincidencias de resultados son só unha coincidencia. Unha mágoa. Era tan bonito...