Artigo sobre nada

De pequeno fascinábame a historia, seguramente coñecida por moitos lectores, sobre a “sopa nun cravo”. A miña avoa (século XNUMX de nacemento) díxome isto na versión "O cosaco veu e pediu auga, porque ten un cravo e cociñará sopa". A curiosa anfitrioa deulle unha pota con auga... e xa sabemos o que pasou a continuación: “a sopa debe estar salgada, leite, avoa, sal”, despois lavou a carne “para mellorar o sabor”, etc. Ao final, tirou o cravo "cocido".

Polo tanto, se suponía que este artigo trataba sobre o baleiro do espazo, e trátase da aterraxe dun aparello europeo no cometa 67P / Churyumov-Gerasimenko o 12 de novembro de 2014. Pero mentres escribía, sucumbii a un hábito de longa data, Sigo sendo un matemático. Como é con Gústameс Cero matemáticas?

Como existe Nada?

Non se pode dicir que Nada existe. Existe polo menos como concepto filosófico, matemático, relixioso e completamente coloquial. O cero é un número normal, cero graos nun termómetro tamén é unha temperatura e un saldo cero nun banco é un feito desagradable pero común. Teña en conta que non hai un ano cero na cronoloxía, e isto débese a que o cero foi introducido nas matemáticas só a finais da Idade Media, máis tarde que a cronoloxía proposta polo monxe Dionisio (século XIX).

Curiosamente, realmente poderiamos prescindir deste cero e, polo tanto, sen números negativos. Nun dos libros de texto de lóxica atopei un exercicio: debuxa ou di como imaxinas a ausencia de peixe. Incrible, non? Calquera pode debuxar un peixe, pero non un?

Agora brevemente curso de matemáticas básicas. Conceder o privilexio de existencia ao conxunto baleiro marcado cun círculo tachado ∅ é un procedemento necesario análogo ao engadir cero ao conxunto de números. O conxunto baleiro é o único conxunto que non contén ningún elemento. Tales coleccións:

Pero non hai dous conxuntos baleiros diferentes. O conxunto baleiro inclúese en todos os outros conxuntos:

De feito, as regras da lóxica matemática din que o conxunto A está contido no conxunto B se e só se a oración:

implica

No caso do conxunto baleiro ∅, a proposición é sempre falsa, polo que, segundo as leis da lóxica, a implicación é xeralmente verdadeira. Todo deriva dunha mentira ("aquí vou crecer un cacto se pasas á seguinte clase..."). Entón, como o conxunto baleiro está contido en cada un dos outros, entón se fosen dous diferentes, cada un deles estaría contido no outro. Non obstante, se dous conxuntos están contidos un dentro do outro, son iguais. Por iso: só hai un conxunto baleiro!

O postulado da existencia dun conxunto baleiro non contradí ningunha lei das matemáticas, entón por que non poñelo en práctica? O principio filosófico chamadoNavalla de Occam» Unha orde para excluír conceptos innecesarios, pero xusto o concepto de conxunto baleiro é moi útil en matemáticas. Teña en conta que o conxunto baleiro ten unha dimensión de -1 (menos un) - os elementos de dimensión cero son puntos e os seus sistemas escasos, os elementos unidimensionais son liñas, e falamos de elementos matemáticos moi complexos con dimensión fractal no capítulo de fractais. .

É interesante que todo o edificio das matemáticas: números, números, funcións, operadores, integrais, diferenciais, ecuacións... pode derivarse dun concepto: un conxunto baleiro! Basta asumir que hai un conxunto baleiro, os elementos recén creados pódense combinar en conxuntos para poder construír todas as matemáticas. Así foi como o lóxico alemán Gottlob Frege construíu os números naturais. O cero é unha clase de conxuntos cuxos elementos están en correspondencia mutua cos elementos do conxunto baleiro. Un é unha clase de conxuntos cuxos elementos están en correspondencia mutua cos elementos dun conxunto cuxo único elemento é o conxunto baleiro. Dous é unha clase de conxuntos cuxos elementos son un a un cos elementos do conxunto formado polo conxunto baleiro e o conxunto cuxo único elemento é o conxunto baleiro... etc. A primeira vista, isto parece ser algo moi complicado, pero en realidade non o é.

O azul espallouse sobre min

cheiraba a breixo e cheiraba a menta...

Wojciech Mlynarski, Rapaza da colleita

É difícil de imaxinar

Nada é difícil de imaxinar. Na historia de Stanisław Lem "Como se salvou o mundo", o deseñador Trurl construíu unha máquina que faría todo comezando por unha carta. Cando Klapaucius mandou construír Nic, a máquina comezou a eliminar varios obxectos do mundo - co obxectivo final de eliminar todo. Cando o asustado Klapaucius parou o coche, galeras, teixos, colgados, hacks, rimas, batedores, pufs, moedores, pinchos, filidrones e xeadas desapareceran do mundo para sempre. E de feito, desapareceron para sempre...

Józef Tischner escribiu moi ben sobre a nada na súa Historia da Filosofía da Montaña. Durante as miñas últimas vacacións, decidín experimentar esta nada, é dicir, fun ás turbeiras entre Nowy Targ e Jabłonka en Podhale. Esta zona chámase incluso Pustachia. Vai, vas, pero a estrada non diminúe, por suposto, na nosa modesta escala polaca. Un día collín un autobús na provincia canadense de Saskatchewan. Fóra había un millo. Botín unha sesta durante media hora. Cando espertei, estabamos conducindo polo mesmo millo... Pero espera, isto está baleiro? En certo sentido, a ausencia de cambio é só baleiro.

Estamos afeitos á presenza constante de diversos obxectos que nos rodean, e desde Algo non podes fuxir nin cos ollos pechados. "Penso, polo tanto estou", dixo Descartes. Se xa pensei algo, entón existo, o que significa que polo menos hai algo no mundo (ou sexa, eu). O que eu pensaba existe? Isto pódese discutir, pero na mecánica cuántica moderna coñécese o principio de Heisenberg: cada observación perturba o estado do obxecto observado. Ata que o vexamos Nic non existe, e cando comezamos a buscar, o obxecto deixa de selo Gústame e convértese Algo. Xa se está facendo absurdo principio antrópico: De nada vale preguntarse como sería o mundo se non existisemos. O mundo é o que nos parece. Quizais outros seres vexan a Terra como angular?

Un positrón (tal electrón positivo) é un burato no espazo, "non hai electrón". No proceso de aniquilación, o electrón salta a este burato e "non pasa nada": non hai buraco, nin electrón. Saltarei moitas bromas sobre os buracos no queixo suízo ("canto máis teño, menos hai..."). O famoso compositor John Cage xa ​​utilizara as súas ideas ata tal punto que compuxo (?) unha peza musical (?) na que a orquestra permanece inmóbil durante 4 minutos e 33 segundos e, por suposto, non toca nada. "Catro minutos e trinta e tres segundos son douscentos setenta e tres, 273, e menos 273 graos son cero absoluto, no que se detén todo o movemento", explicou o compositor (?).

Filtra a cero, nada, nick, nick, nada, cero!

Jerzy na película de Andrzej Wajda ao longo dos anos,

pasan os días"

Que tal todos?

Moitas persoas (desde simples agricultores ata destacados filósofos) preguntáronse polo fenómeno da existencia. En matemáticas, a situación é sinxela: hai algo que é coherente.

Ela desapareceu nos campos marxinais

En cornflowers, malas herbas e bocas de león...

Ben, cousas como esta pasan

Especialmente na vendima, e durante a vendima

sobre todo…

Wojciech Mlynarski, Rapaza da colleita

Todo está no outro extremo da Nada. En matemáticas, sabémolo Non existe todo. Só unha idea demasiado inexacta de que a súa existencia estaría libre de controversia. Isto pódese entender co exemplo do vello paradoxo: "Se Deus é omnipotente, entón crea unha pedra para coller?" A demostración matemática de que non pode haber conxuntos de todos os conxuntos baséase no teorema cantante-Bershtein, que di que "un número infinito" (matemática: numeral cuantitativo) o conxunto de todos os membros dun conxunto determinado é maior que o número de elementos deste conxunto.

Se un conxunto ten elementos, entón ten 2ⁿ subconxuntos; por exemplo, cando = 3 e o conxunto consta de {1, 2, 3} entón existen os seguintes subconxuntos:

• tres conxuntos de dous elementos: a cada un deles falta un dos números 1, 2, 3,
• un conxunto baleiro,
• tres conxuntos dun elemento,
• todo o conxunto {1,2,3}

- só oito, 2³E lectores que acaban de graduarse da escola, gustaríame recordar a fórmula correspondente:

Cada un dos símbolos newtonianos desta fórmula determina o número de conxuntos de elementos k no conxunto de elementos -.

En matemáticas, os coeficientes binomiais aparecen en moitos outros lugares, como en fórmulas interesantes para a multiplicación reducida:

e desde a súa forma exacta, a súa interdependencia é moito máis interesante.

É difícil comprender o que -no que se refire á lóxica e ás matemáticas- é e o que non é Todo. Argumentos a favor da inexistencia Igual que o de Winnie the Pooh, quen lle preguntou educadamente ao seu convidado, Tigre, ¿Aos Tigres lles gustan o mel, as landras e os cardos? "Aos tigres gústalles todo", respondeu aquel do que Kubus concluíu que se lles gusta todo, tamén lles gusta durmir no chan, polo que el, Vinnie, pode volver á cama.

Outro argumento Paradoxo de Russell. Hai un barbeiro na cidade que afeita a todos os homes que non se afeitan. El se afeita? Ambas as respostas contradín a condición esixida de que se sacrifiquen aqueles, e só aqueles, que non o fan eles mesmos.

Buscando unha colección de todas as coleccións

En conclusión, vou dar unha proba intelixente, pero máis matemática, de que non hai un conxunto de todos os conxuntos (non debe confundirse con el).

En primeiro lugar, mostraremos que para calquera conxunto X non baleiro, é imposible atopar unha función mutuamente única que mapee este conxunto co conxunto dos seus subconxuntos P(X). Entón, supoñamos que esta función existe. Denotémolo pola f tradicional. Cal é f de x? Esta é unha colección. Xf pertence a x? Isto é descoñecido. Ou tes que facer ou non. Pero para algúns x aínda debe ser tal que non pertence a f de x. Ben, entón considere o conxunto de todos os x para os que x non pertence a f(x). Sinócao (este conxunto) por A. Corresponde a algún elemento a do conxunto X. Pertence a a a A? Supoñamos que debería. Pero A é un conxunto que contén só aqueles elementos de x que non pertencen a f(x)... Pois quizais non pertence a A? Pero o conxunto A contén todos os elementos desta propiedade e, polo tanto, tamén A. Fin da demostración.

Polo tanto, se houbese un conxunto de todos os conxuntos, sería el mesmo un subconxunto de si mesmo, o que é imposible segundo o razoamento anterior.

Uf, non creo que moitos lectores viron esta proba. Máis ben, saqueino para mostrar o que tiñan que facer os matemáticos a finais do século XIX, cando comezaron a estudar os fundamentos da súa propia ciencia. Resultou que os problemas están onde ninguén os esperaba. Ademais, para o conxunto das matemáticas, estes razoamentos sobre as bases non importan: pase o que pase nas adegas: todo o edificio das matemáticas está sobre unha roca sólida.

Mentres, na parte superior...

Observamos unha moralidade máis das historias de Stanislav Lem. Nunha das súas viaxes, Iyon Tichi chegou a un planeta cuxos habitantes, tras unha longa evolución, alcanzaron por fin a etapa máis alta de desenvolvemento. Todos son fortes, poden facer calquera cousa, teñen todo ao alcance dos seus dedos... e non fan nada. Deitáronse na area e bótanlla entre os dedos. "Se todo é posible, non paga a pena", explican ao conmocionado Ijon. Que isto non lle pase á nosa civilización europea...