Pintura, música, matemáticas

Este texto é un resumo da lectura para mozos con bolsas do National Children's Fund que se reuniron no campo de investigación en Serock (5 de maio de 2018). Foi creado (o texto, non a Fundación!) en circunstancias bastante estrañas.

Non recibín ningunha educación musical, pero a música clásica gustoume bastante cedo. Oín que a base teórica da música son as matemáticas puras, pero non me interesaban moito.

Foi só a unha idade moi madura cando comecei a ler libros de texto de harmonía e libros de texto académicos de musicoloxía. Entón eu pasei polo que os nenos na escola de música primaria - pero desde a posición dun matemático adulto. Polo tanto, puiden ver na teoría musical algo que os músicos profesionais non ven e non entenden en absoluto (aínda que, francamente, non o precisan para a arte pola que se esforzan).

A construción do chamado quinto círculo aseméllase á orde Gaussa utilizado por el na construción do habitual decimoséptimo. As dependencias deste círculo (por exemplo, que a tónica dunha escala maior é un subdominante da seguinte) lembráronme a estrutura dunha táboa de volumes e áreas de superficie dunha esfera en espazos de calquera dimensión (a área de superficie de ​unha esfera de dimensión n multiplicada por 2πr dá o volume dunha esfera de dimensión +2). Tamén me resultou doado entender o que matemáticamente significa que unha terceira é unha división harmónica dunha quinta. Etc. Pero non deixes que isto desanime ao lector.

As cousas das que falo son ben coñecidas polos músicos, pola práctica. Confeso que me sorprendeu o difícil que lles foi entender a base matemática. Eles estaban, por suposto, sorprendidos de que eu aprendera tan mal os principios básicos da harmonía.

Foto 1. Ilustración do teorema de Pitágoras. Na versión para os máis pequenos: é posible utilizar dous cadrados facer un?

A música é fermosa. Non me refiro ao chamado. música subconsciente amada polos clubbers (e sei que escribo porque unha vez o fixen), pero a que nos chega intelectualmente é fundamentalmente a música clásica europea baseada nunha harmonía centenaria. A pregunta de como medir a beleza sempre nos preocupou a nós (ás persoas) e segue a preocupar hoxe. Esta é a pregunta á que se refire en humanidades como un "problema".

En matemáticas, un "problema" é un problema que hai que resolver. Nas humanidades, pola contra, aquí o problema é, por así decirlo, irresoluble por definición (pódese expresar doutro xeito no mellor dos casos): así temos o “problema da alma humana”, o “mal e o ben”, “o organización ideal da vida social” e moitos outros, incluídos algúns son simplemente fermosos.

A situación foi máis clara ata principios do século XNUMX, é dicir, ata o momento en que a humanidade comezou a afastarse da antigüidade como modelo de cultura. Ata entón supoñíase que a “beleza” existe obxectivamente, e nós buscámola, coma un tesouro nunha illa. Pouco a pouco (nós, a humanidade!) comezamos a entender que este tesouro non existe, que se cadra é fermoso... a procura en si.

Así que, aínda que é difícil definir o que é a “beleza”, cando a coñecemos non cabe dúbida: “¡Isto é!”. Tamén debemos estar de acordo en que todas estas preguntas son relativas. Xa escribín que hai xente á que lle gusta o ruído. Polo visto hai quen non ve nada especial nos concertos de Bach, Beethoven e Chopin. O Himalaia, Gorce e as chairas húngaras son fermosas. O tenis é un xogo aburrido para a maioría da xente (como o é o fútbol para min). Pero para aqueles que xogaron polo menos un pouco, o tenis é un xogo intelectual marabilloso.

Exactamente, aproveitarei a ambigüidade do verbo "xogar". A música europea orixinouse da idea Pitágoras e a súa escola filosófica (século XIX a.C.). Na terminoloxía actual, Pitágoras sería un refuxiado. Procedía da illa grega de Samos, de onde fuxiu da tiranía de Polícrates, e fundou a súa escola filosófica (hoxe chamaríase secta) no sur de Italia, en Crotone, na actual Calabria.

O nome de Pitágoras está asociado principalmente Teorema da suma de cadrados. É considerado o máis famoso das matemáticas. Que siga así, aínda que Pitágoras non descubriu esta dependencia nun triángulo rectángulo e nin sequera deu a primeira proba. Porén, na historia do pensamento europeo, tivo un papel cen veces máis importante. En termos modernos, preguntouse en que se diferencia o home dos animais. Incluso tentou conseguir unha subvención de Bruxelas para a súa investigación, pero por razóns formais, a solicitude foi rexeitada. Estaba escrito que non había cidade como Bruxelas, e Europa non é un continente, nin unha unión de estados, senón unha fermosa princesa tiria, filla de Agenor, máis tarde raíña cretense, secuestrada e seducida por Zeus...

As bromas son bromas. florecer Escola pitagórica Corría o ano 580 a.C. Daquela non só se descoñecían radios, coches, teléfonos móbiles, cola, patacas, café, té e cigarros! Xesús ía nacer en cinco séculos, e Mieszko o Primeiro en 1500 anos. Roma aínda non acadara o poder imperial.

Da música á xeometría ou viceversa

Nas clases de matemáticas da escola, debuxamos corpos en perspectiva paralela. Este é un método de enxeñería conveniente. Pero vémolo todo nunha perspectiva converxente. Non temos medo de subir ao tren, aínda que vemos que as vías se estreitan cara ao horizonte. Sabemos por experiencia que un tren en movemento os "esmagará".

A perspectiva conflúe e ten inconvenientes, sobre todo os derivados do "selfie": sobredibuxo e esaxeración do primeiro plano. Ao fotografiar edificios prodúcese un efecto do colapso de columnas: non FOTO. 2 temos a impresión de que a casa está a caer cara atrás. Non se pode facer nada -se queremos encaixar as tres dimensións en dúas- algo sempre vai ir mal.

Foto 2. Unha casa "derrumbada" non é unha chabola en absoluto.

Todo isto débese á xeometría, ou máis ben a unha característica da proxección central. Podemos velo ben FOTO. 3. O centro xeométrico da liña vermella non está a medio camiño do bosque. Na linguaxe da xeometría, isto pódese expresar do seguinte xeito: o punto medio do segmento non é invariante de proxección central.

Foto 3. Feixe e materia... invariante de proxección central (foto: Tadeusz Guranowski).

Os artistas renacentistas descubriron que xa no século I d.C., Pappus demostrara o que era un invariante. Na recta, seleccionamos dous puntos de potencia, chamémolos e... O que non cambia ao deseñar o segmento medio é o cociente de dous cocientes. Podes entendelo deste xeito. Vexamos a fig. 1. Sobre el temos un segmento "azul".

Arroz. 1. As matemáticas ás veces fan unha broma cruel...

O punto divídeo nunha proporción de 4:2, é dicir, dous a un. Está claro. Hai outro punto que divide este segmento na mesma proporción? Aquí é onde as matemáticas xogan unha mala pasada. Se escribimos a ecuación correspondente e a resolvemos, obtemos outro punto, diferente: un punto. Pódese dicir, con todo, que "comparte o episodio"? Quizais non, pero o feito é que a relación da distancia deste punto aos extremos do segmento é 12:6, é dicir, 2, o mesmo que para o punto. Despois dicimos que comparto o episodio harmoniosamente (termo vello e esquecido: "dividir na proporción extrema e media"). "Harmónico" significa que temos algún tipo de conexión coa arte, principalmente coa música.

Arroz. 2. A beleza do lanzamento do medio. A relación de distancias está cambiando, a chamada. binario. Se A, B, C, D son puntos da liña nesa orde, entón a razón é a razón entre a participación de BA/BC e a participación de DA/DB. Pois temos tales puntos que forman un "catro harmónico".

Música... martelos

Onde está a música? Pero isto é música! Para entendelo, volvamos a Pitágoras! Segundo a lenda, Pitágoras creou a súa escala musical escoitando os sons que facían os martelos na fragua. Concluíu que se podía expresar en números, de acordo coa crenza común de que todo procede de relacións numéricas. Isto é moi ben descrito por. Józef Tischner no seu "Highlander's Philosophy" (editorial Znak, 1997). Pitágoras é un montañés específico Endrek Waksmundsky. Fundou a escola. A primeira escola do mundo, é dicir (como escribe o padre Tischner) en Podhale. O padre Tischner tenta reproducir o dialecto das Highlands na súa carta, e isto ten o seguinte efecto:

Tal e como foi, así foi, polo menos Pitágoras sinalou que acurtar a corda do timbre á metade dá "o mesmo son, só máis alto". Así escoitamos, así o perciben os nosos oídos. Percibimos un son cunha frecuencia dobre como "o mesmo, só máis alto" - unha analoxía con figurami-podobnymi: son as "mesmas" cifras, só nunha escala diferente. Vexamos fig. 3 - é coñecido en matemáticas construción do "cuarto harmónico". Dividimos a liña harmoniosamente para que haxa un terceiro punto. Que é dende o punto de vista musical? Quero lembrar aos lectores que se graduaron na escola primaria de música: esta é a división harmónica da oitava e, polo tanto, a quinta. A parte que vibra da corda está marcada en vermello na parte inferior. Pitágoras acurtou a corda nun terzo (AK). Soou o quinto! De onde vén o "cinco" do título? Porque os dous terzos da corda vibran (e polo tanto fan un son). Polas leis da física coñecidas hoxe en día, sabemos que a frecuencia deste son é a 3/2 do son de toda a corda.

Arroz. 3. Terceiro - división harmónica de quintas. Neste diagrama (construción de Desargue dun cuadrilátero completo) vemos tamén a tríada máis famosa: a tónica da escala de Do maior. Sabes isto, lector, dende pequeno. Estoume burlando de ti? Non, claro que non. Canta unha canción sobre un gatiño que se subiu a unha varanda recta e comezou a subir e baixar as pálpebras alternativamente a unha frecuencia duns 2 Hz. Que fai este gatiño? Canta! "Fai un guiño". Esta tríada tónica da escala do do maior é a nai de todas as escalas.

Goethe (si, ese poeta alemán cuxa obra máis famosa, escrita ao longo de varias décadas, é, por suposto, Fausto) tiña boas palabras sobre os matemáticos. Un deles dixo que os matemáticos son como os amantes: dálle un paquete e deducirá del todo o coñecemento sobre ti. Da dependencia dunha quinta parte, dunha división harmónica, Pitágoras (máis precisamente, os seus sucesores) trouxo toda a música europea, con Bach, Beethoven e Brahms - un artigo sobre tres Ms, entón tres músicos famosos en B. The Beatles están aquí? Si. A súa música é "aínda" música clásica, escoitemos "Yesterday", "All You Need is Love" e ata o incrible "Yellow Submarine" que a miña xeración lle encantaba tocar. A música pop moderna ten algo en común coa música clásica? Non sei. Tentei escoitar, pero era demasiado alto...

Arroz. 4. Aquí podes ver como se combina a beleza musical coa matemática. Á esquerda está o triángulo tónico á escala maior: "a nai de todas as escalas". O tónico está na parte superior nun ángulo de 45 graos. O intervalo CE é un terzo maior, EG é un terzo menor, GC é un quinto. Isto corresponde a dividir a circunferencia do círculo inscrito na proporción 4:3:5. O triángulo tónico de CEG ten ángulos de 45, 60 e 75 graos (proporción 3:4:5) e está inscrito nun dos triángulos matemáticos máis fermosos: medio triángulo equilátero. Tamén son interesantes os triángulos azuis (equiláteros, isósceles en ángulo recto e o terceiro - con ángulos de 75, 75, 30 graos). Á dereita vemos a tónica da escala paralela - La menor. A escala de la menor xorde de do maior cunha rotación de 210 graos, pero as tríadas tónicas non xorden unha das outras por rotación, senón que son simétricas (os triángulos CEG e ACE teñen orientacións opostas). Todo isto está inscrito nun triángulo equilátero.

Problema (para aqueles matemáticos que non entenden nada da música). Tomando KL = LM = MK = 1, calcula o raio dos círculos inscritos en triángulos PKM e PLM. Atopar as escalas de semellanza dos triángulos CLE, KLM e CEM. Atopa as coordenadas dos puntos de Gergonne dos triángulos KPM e LMB. Debuxa a liña de Euler.

En breve volverei á música e ás matemáticas.